《高等算术》第五章研究将自然数表示为平方和的方法，讨论了三种情况：

• 二平方和：所有形如 4k+3 的质因子的次数必须为偶数（可以是 0）；
• 四平方和：任意自然数都可以表示为四平方和；
• 三平方和：除了形如 4^l(8k+7) 外的自然数都可以表示为三平方和（未给出证明）。

对于二平方和问题，书中给出了若干构造方法。

5.1 以下哪些数可以表示为二平方和：97, 221, 300, 490, 729, 1001。

解

• 97 是质数且等于 4×24+1，因此可以表示为二平方和。
• 221 = 13×17，每个质因子都是 4k+1 的形式，因此可以表示为而平方和。
• 300 = 2×3×5²，质因子 3 不满足要求。
• 490 = 2×5×7²，可以表示为二平方和。
• 729 = 3⁶，可以表示为二平方和。
• 1001 = 7×11×13，质因子 7 和 13 都不满足要求。

5.2 验证恒等式 \[(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2\] 并由此可知，一般地，这样的乘积有两种表示法。这里“一般地”是什么意思？

证明 直接展开即可证明。或者，也可以考虑用复数的运算法则来证明。设 \(\alpha=a+b\mkern1mui\) 且 \(\beta=c+d\mkern1mui\)，那么要证的等式等价于 \[|\alpha|^2|\beta|^2 = |\alpha\beta|^2 = |\alpha\bar\beta|^2\] 根据复数的运算法则可知这个等式恒成立。

这里“一般地”指在个别情况下这两种表示法可能是相同的（例如，当 \(b=0\) 时），但其他情况下是两种不同的表示法。

5.8 给出 103 的若干四平方和表示法。

解 \begin{align*} 103 &= 1^2+1^2+1^2+10^2 \\ &= 1^2+2^2+7^2+7^2 \\ &= 2^2+3^2+3^2+9^2 \end{align*}

5.10 以下哪些数能表示为三平方和：607, 307, 284, 568, 1136。

解

• 607 = 8×75+7，不能表示为三平方和。
• 307 = 8×38+3，可以表示为三平方和。
• 284 = 4×71，而 71=8×8+7，因此 284 不能表示为三平方和。
• 568 = 2×4×71，可以表示为三平方和。
• 1136 = 4²×71，不能表示为三平方和。

5.11 证明小于 \(2^{2k+1}\) 的自然数中，不能表示为三个自然数的平方和的个数是 \((2^{2k}-1)/3\)。

解 根据三平方和判定方法，不能表示为三平方和的数一定是 \(4^l(8m+7)\) 的形式。易知当 \(l\) 取不同的值时，得到的数一定是不同的，因此可以根据 \(l\) 的取值分类讨论。当固定 \(l\) 时，根据范围限制条件有 \[4^l(8m+7) < 2^{2k+1}\] 即 \[m < 2^{2k-2-2l} - \frac78\] 由此可知 \(m\) 的取值范围是 \[0,1,2,\ldots, 2^{2k-2-2l}-1\] 共计 \(2^{2k-2-2l}\) 个数，它们不能表示为三平方和。

当 \(l=0,1,2,\ldots,k-1\) 时，小于 \(2^{2k+1}\) 且不能表示为三平方和的数个数分别是 \[2^{2k-2}, 2^{2k-4}, \ldots, 4, 1\] 倒过来看，是首项为 \(1\)，公比为 \(4\)，共 \(k\) 项的等比数列。因此根据等比数列求和公式可知总数为 \[\frac{1-4^k}{1-4} = \frac{2^{2k}-1}{3}\] 这就是所要证明的。