《抽象代数》第二十八章讲的是向量空间的基础知识。本书对读者（比如我）的基础知识要求不高，专门用了一个章节讨论这些通常在线性代数课中应已涵盖的内容。在后续的章节中，常会把用域 F 中的元素视为数，扩域 K 中的元素视为“向量”，使他们构成一个向量空间，然后用向量空间的性质证明一些结论。

B.2 证明 \(\{(a,b,c)\in\mathbb R^3 : 2a-3b+c=0\}\) 是 \(\mathbb R^3\) 的子空间。

证明 设 \(U=\{(a,b,c)\in\mathbb R^3 : 2a-3b+c=0\}\)。显然 \(U\subseteq \mathbb R^3\)。设 \(\boldsymbol x=(a_1,b_1,c_1),\boldsymbol y=(a_2,b_2,c_2)\in U\)，则有 \[2(a_1+a_2)-3(b_1+b_2)+(c_1+c_2) = 0\] 这表明 \(\boldsymbol x+\boldsymbol y\in U\)，因此 \(U\) 对加法封闭。

这里讨论的数域 \(F=\mathbb R\)。对任意 \(k\in \mathbb R\) 有 \[2(ka_1)-3(kb_1)+(kc_1) = 0\] 这表明 \(k\boldsymbol x \in U\)，因此 \(U\) 对数乘封闭。

综上所述，\(U\) 是 \(\mathbb R^3\) 的子空间。

C.5 求下列 \(\mathbb R^3\) 的子空间的一组基。

1. \(S_1=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3 : 3x-2y+z=0\}\)
2. （其余略）

解 \(S_1\) 的一组基为 \(B=\{(1,0,-3),(0,1,2)\}\)。首先，不难验证这一组向量线性无关。其次，\(B\) 中向量的任意线性组合都在 \(S_1\) 中。最后，对于 \(S_1\) 的任意向量 \((x,y,z)\)，可以将其分解为 \[(x,y,z) = x(1,0,-3) + y(0,1,2)\] 可见，\(B\) 生成 \(S_1\)。因此，\(B\) 是 \(S_1\) 的基。

C.6 求 \(\mathbb R^3\) 的由下述向量集合生成的子空间的一组基：所有满足 \(x^2+y^2+z^2=1\) 的向量。

解 易知 \(\boldsymbol e_1=(1,0,0)\), \(\boldsymbol e_2=(0,1,0)\), \(\boldsymbol e_3=(0,0,1)\) 都满足 \(x^2+y^2+z^2=1\)。它们线性无关。（事实上，它们生成的子空间就是 \(\mathbb R^3\) 本身。）所以 \(\{\boldsymbol e_1, \boldsymbol e_2, \boldsymbol e_3\}\) 就是满足要求的一组基。

注 这题问的不是 \(\{(x,y,z)\in \mathbb R^3 : x^2+y^2+z^2\}\) 的一组基；事实上，它根本就不是向量空间。

C.7 设 \(U\) 是 \(\mathscr F(\mathbb R)\) 的子空间且由 \(\{\cos^2 x, \sin^2 x, \cos 2x\}\) 生成。求 \(U\) 的维数，并求 \(U\) 的一组基。

解 设 \(B=\{\cos^2 x, \sin^2 x, \cos 2x\}\)。根据三角函数知识可知 \(\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x\)。根据本章引理 2，\(B\) 中删去 \(\cos 2x\) 后得到的 \(B’=\{\cos^2x, \sin^2x\}\) 仍然生成 \(U\)。这时，列方程 \[k_1\cos^2x + k_2\sin^2x = 0\] 因为 \(\cos^2x + \sin^2x = 1\)，所以方程等价于 \[(k_1-k_2)\cos^2x + k_2 = 0\] 假设 \(k_1-k_2\ne 0\)，则 \[\cos^2x = \frac{k_2}{k_2-k_1}\] 这是不可能的，因为等式右边是常数，而 \(\cos^2x\) 显然不是一个常数函数。所以只可能是 \(k_1-k_2=0\)，进而可以解得 \(k_1=k_2=0\)。这表明 \(B’\) 中的向量线性无关。

综上所述，\(B’=\{\cos^2x,\sin^2x\}\) 是 \(U\) 的一组基。因此 \(\dim U=2\)。

设 \(V\) 是有限维向量空间。记 \(\dim V\) 为 \(V\) 的维数。证明下列命题。

D.1 如果 \(U\) 是 \(V\) 的子空间，则 \(\dim U\le \dim V\)。

证明 设 \(n=\dim U\), \(m=\dim V\)。那么 \(\{\boldsymbol e_1,\ldots,\boldsymbol e_n\}\) 是 \(U\) 的一组基，于是 \(\boldsymbol e_1,\ldots,\boldsymbol e_n\) 线性无关。假设 \(n > m\)，则 \(\{\boldsymbol e_1,\ldots,\boldsymbol e_m\}\) 是 \(V\) 中一组线性无关的向量，从而构成 \(V\) 的一组基。而 \(\boldsymbol e_{m+1}\in U\subseteq V\)，这意味着 \(\boldsymbol e_{m+1}\) 可以用 \(\{\boldsymbol e_1,\ldots,\boldsymbol e_m\}\) 的线性组合表示，这和 \(\boldsymbol e_1,\ldots,\boldsymbol e_n\) 线性无关矛盾。因此假设不成立，只可能是 \(n\le m\)。

D.2 如果 \(U\) 是 \(V\) 的子空间，且 \(\dim U = \dim V\)，则 \(U=V\)。

证明 设 \(n=\dim U=\dim V\)。那么 \(\{\boldsymbol e_1,\ldots,\boldsymbol e_n\}\) 是 \(U\) 的一组基。因为 \(U\) 是 \(V\) 的子空间，所以 \(\boldsymbol e_1,\ldots,\boldsymbol e_n\) 都是 \(V\) 中的向量，而 \(\dim V=n\)，所以这一组向量也是 \(V\) 的一组基。这表明 \(U\) 和 \(V\) 由同一组向量生成，所以 \(U=V\)。

D.6 如果 \(\{\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c\}\) 线性无关，那么 \(\{\boldsymbol a+\boldsymbol b,\boldsymbol b+\boldsymbol c,\boldsymbol a+\boldsymbol c\}\) 也线性无关。

证明 列方程 \[k_1(\boldsymbol a+\boldsymbol b)+k_2(\boldsymbol b+\boldsymbol c)+k_2(\boldsymbol a+\boldsymbol c)=0\] 该方程等价于 \[(k_1+k_3)\boldsymbol a + (k_1+k_2)\boldsymbol b + (k_2+k_3)\boldsymbol c = 0\] 根据 \(\{\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c\}\) 线性无关可知 \(k_1+k_3=k_1+k_2=k_2+k_3=0\)。解得 \(k_1+k_2+k_3=0\)。因此 \(\{\boldsymbol a+\boldsymbol b,\boldsymbol b+\boldsymbol c,\boldsymbol a+\boldsymbol c\}\) 也线性无关。

设 \(U\) 和 \(V\) 是 \(F\) 上的有限维向量空间，并设 \(h\colon U\to V\) 是线性变换。证明 1–3。

E.1 \(h\) 的核是 \(U\) 的子空间。（这称为 \(h\) 的零空间 (null space)。）

证明 设 \(K\) 是 \(h\) 的核。显然 \(K\subseteq U\)。设 \(\boldsymbol x,\boldsymbol y\in K\)，那么 \(h(\boldsymbol x)=h(\boldsymbol y)=\boldsymbol 0\)。于是 \[h(\boldsymbol x + \boldsymbol y) = h(\boldsymbol x)+h(\boldsymbol y)=\boldsymbol 0+\boldsymbol 0=\boldsymbol 0\] 这意味着 \(K\) 对加法封闭。

另一方面， \[h(k\boldsymbol x) = kh(\boldsymbol x) = k\boldsymbol 0 = \boldsymbol 0\] 这意味着 \(K\) 对数乘封闭。

综上所述，\(K\) 是 \(U\) 的子空间。

E.2 \(h\) 的值域是 \(V\) 的子空间。（这称为 \(h\) 的值域空间 (range space)。）

证明 值域中的任意元素都有原像。仿照 E.1 的证明，利用 \(h\) 的线性性质证明值域对加法和数乘封闭即可。

设 \(\mathscr N\) 为 \(h\) 的零空间，且 \(\mathscr R\) 为 \(h\) 的值域空间。设 \(\{\boldsymbol a_1,\ldots,\boldsymbol a_r\}\) 为 \(\mathscr N\) 的一组基。将其扩展为 \(U\) 的一组基 \(\{\boldsymbol a_1,\ldots,\boldsymbol a_r,\ldots,\boldsymbol a_n\}\)。

证明 4–6。

E.4 任意向量 \(\boldsymbol b\in\mathscr R\) 都是 \(h(\boldsymbol a_{r+1}),\ldots,h(\boldsymbol a_n)\) 的线性组合。

证明 因为 \(\boldsymbol b \in \mathscr R\)，所以存在 \(\boldsymbol a\in U\) 使得 \(h(\boldsymbol a) = \boldsymbol b\)。因为 \(\{\boldsymbol a_1,\ldots,\boldsymbol a_r,\ldots,\boldsymbol a_n\}\)是 \(U\) 的一组基，所以可以将 \(\boldsymbol a\) 表示为它们的线性组合：存在 \(k_1,\cdots,k_n\in F\) 使得 \[\boldsymbol a = k_1\boldsymbol a_1+\ldots+k_n\boldsymbol a_n\] 根据线性映射的线性性质，有 \begin{align*} \boldsymbol b=h(\boldsymbol a) &= h(k_1\boldsymbol a_1+\ldots+k_n\boldsymbol a_n)\\ &=k_1\underbrace{h(\boldsymbol a_1)}_{=0}+\cdots+k_r\underbrace{h(\boldsymbol a_r)}_{=0}+k_{r+1}h(\boldsymbol a_{r+1})+\cdots+k_nh(\boldsymbol a_n)\\ &=k_{r+1}h(\boldsymbol a_{r+1})+\cdots+k_nh(\boldsymbol a_n) \end{align*} 这表明 \(\boldsymbol b\) 可以表示为 \(h(\boldsymbol a_r),\ldots,h(\boldsymbol a_n)\) 的线性组合。这就是所要证明的。

E.5 \(\{h(\boldsymbol a_{r+1}),\ldots,h(\boldsymbol a_n)\}\) 线性无关。

证明 假设 \(\{h(\boldsymbol a_{r+1}),\ldots,h(\boldsymbol a_n)\}\) 线性相关，那么存在不全为零的 \(k_{r+1},\ldots,k_n\in F\) 使得 \[k_{r+1}h(\boldsymbol a_{r+1})+\ldots+k_n h(\boldsymbol a_n) = \boldsymbol 0\] 设 \[\boldsymbol a = k_{r+1}\boldsymbol a_{r+1}+\cdots+k_n\boldsymbol a_n\] 那么，根据线性映射的性质可知 \(h(\boldsymbol a) = \boldsymbol 0\)。这表明 \(\boldsymbol a\in \mathscr N\)，因此它可以表示为 \(\boldsymbol a_1,\ldots,\boldsymbol a_r\) 的线性组合：存在 \(k_1,\ldots,k_r\in F\) 使得 \[\boldsymbol a = k_1\boldsymbol a_1+\cdots+k_r\boldsymbol a_r\] 于是 \[k_1\boldsymbol a_1+\cdots+k_r\boldsymbol a_r-k_{r+1}\boldsymbol a_{r+1}-\cdots-k_n\boldsymbol a_n = \boldsymbol 0\] 注意以上等式中的系数不全为零，这意味着 \(\{\boldsymbol a_1,\ldots,\boldsymbol a_n\}\) 线性相关。这和 \(\{\boldsymbol a_1,\ldots,\boldsymbol a_n\}\) 是 \(U\) 的一组基（应当线性无关）矛盾！所以假设不成立，因此只可能是 \(\{h(\boldsymbol a_{r+1}),\ldots,h(\boldsymbol a_n)\}\) 线性无关。

E.6 \(\mathscr R\) 的维数是 \(n-r\)。

证明 根据 E.3 和 E.4 可知 \(\{h(\boldsymbol a_{r+1}),\ldots,h(\boldsymbol a_n)\}\) 是 \(\mathscr R\) 的一组基。因为这组基有 \(n-r\) 个向量，所以 \(\dim \mathscr R = n-r\)。

E.7 作出如下结论：对于任意线性变换 \(h\)，定义域的维数等于零空间的维数加值域空间的维数。

证明 根据 E.6 立即得到结论。

E.8 设 \(U\) 和 \(V\) 有相同的维数 \(n\)。使用 E.7 证明 \(h\) 是单射当且仅当 \(h\) 是满射。

证明 设 \(h\) 是满射，那么 \(h\) 的值域空间就是 \(V\)。根据 E.7 可知 \(h\) 的零空间是零维的，即 \(\{\boldsymbol 0\}\)。设 \(h(\boldsymbol a)=h(\boldsymbol b)\)，其中 \(\boldsymbol a,\boldsymbol b\in U\)，那么 \[h(\boldsymbol a-\boldsymbol b)=h(\boldsymbol a)-h(\boldsymbol b)=\boldsymbol 0\] 所以 \(\boldsymbol a - \boldsymbol b\) 在 \(h\) 的零空间中，那么只可能是 \(\boldsymbol a - \boldsymbol b = \boldsymbol 0\)，于是 \(\boldsymbol a = \boldsymbol b\)。这就证明了 \(h\) 是单射。

反过来，设 \(h\) 是单射。对于 \(h\) 的零空间的任意元素 \(a\) 都有 \(h(a) = 0\)。而因为零空间是线性空间，所以一定包含 \(\boldsymbol 0\)。根据 \(h\) 是单射可知 \(\boldsymbol a = 0\)。因此，\(h\) 的零空间只有唯一的元素 \(\boldsymbol 0\)，因此是零维空间。根据 E.7 可知 \(h\) 的值域空间是 \(V\) 的 \(n\) 维子空间。而 \(V\) 的维数是 \(n\)，根据 D.2 可知 \(h\) 的值域空间就是 \(V\)。这就证明了 \(h\) 是满射。