抽象代数习题(8) – 有限集的置换
《抽象代数》第八章讲了有限集合上的置换、轮换、对换的表示法，置换到轮换的分解，置换的奇偶性。
B.1 为下列情况计算 α⁻¹, α², α³, α⁴, α⁵：
- α = (123)
- α = (1234)
- α = (123456)
解
- α⁻¹=(132), α²=(132), α³=ε, α⁴=(123), α⁵=(132)
- α⁻¹=(1432), α²=(13)(24), α³=(1432), α⁴=ε, α⁵=(1234)
- α⁻¹=(165432), α²=(135)(246), α³=(14)(25)(36), α⁴=(153)(264), α⁵=(165432)
B.2 描述轮换 \(\alpha = (a_1a_2\cdots a_s)\) 的所有不同的幂。共有几个？密切注意它和整数模 \(s\) 的加法群的关系。
答
\[\alpha^k = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_{s-k} & a_{s-k+1} & \cdots & a_s \\ a_{k+1} & a_{k+2} & \cdots & a_s & a_1 & \cdots & a_k \\ \end{pmatrix}\]
可见共有 \(s\) 个不同的幂： \(\alpha^0, \alpha^1, \ldots, \alpha^{s-1}\)。
B.3 找出 \(\alpha\) 的逆并证明 \(\alpha^{-1}=\alpha^{s-1}\)。
证明
而根据前一问的结论可知
\[\alpha^{-1} = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_s \\ a_s & a_1 & \cdots & a_{s-1} \\ \end{pmatrix} = \alpha^{s-1}\]
证明完毕。
B.4 求证： \(\alpha^2\) 是轮换，当且仅当 \(s\) 是奇数。
证明
首先证明 \(s\) 是奇数 ⟹ \(\alpha^2\) 是轮换。 假定 \(s\) 是奇数, 则 \[\alpha^2 = (a_1\,a_3\cdots a_s\,a_2\,a_4\cdots a_{s-1})\] 是轮换。
其次证明 \(s\) 不是奇数 ⟹ \(\alpha^2\) 不是轮换。 \(s\) 不是奇数即是偶数，而 \[\alpha^2 = (a_1\,a_3\cdots a_{s-1})(a_2\,a_4\cdots a_s)\] 不是轮换（因为置换分解为轮换是唯一的）。
综上所述， \(\alpha^2\) 是轮换当且仅当 \(s\) 是奇数。
B.5 如果 \(s\) 是奇数，证明 \(\alpha\) 是某个长度为 \(s\) 的轮换的平方。
证明 因为 \(\alpha^s = \epsilon\)，所以 \(\alpha = \alpha^{s+1} = \bigl(\alpha^r\bigr)^2\)，这里 \(r={s+1\over2}\) 是整数。
\[\alpha^r = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_s \\ a_r & a_{r+1} & \cdots & a_{r-1} \\ \end{pmatrix}\]
下面证明这是一个轮换。因为 \(\alpha^r(a_i) = a_{i+r-1}\)，所以从 \(a_1\) 开始可以得到一个轮换 \[\beta = (a_1\,a_r\cdots a_{[(k-1)(r-1)\bmod s]+1}\cdots)\] 其中 \(1\le k \le s\)。 下面考虑这个轮换的长度。令第 \(k\) 项等于第 \(1\) 项，得同余方程 \[(k-1)(r-1) \equiv 0 \pmod s\]
根据初等数论知识，\(\gcd(r-1,s) = \gcd(r-1, 2r-1) = 1\)，故可约去 \((r-1)\)。解得 \(k\equiv 1 \pmod s\)。 所以，唯一满足要求的值为 \(k=1\)。由此可知， \(\beta\) 能够遍历全部 \(s\) 个元素。这意味着 \(\alpha^r\) 是轮换。
综上所述，\(\alpha\) 是轮换 \(a^{s+1\over2}\) 的平方。
B.7 如果 \(s=kt\) 是 \(k\) 的倍数，证明 \(\alpha^k\) 是 \(k\) 个长度为 \(t\) 的轮换的复合。
证明 把 \(a_1\) 到 \(a_s\) 排在 \(t\times k\) 矩阵中：
\begin{matrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_k \\ a_{k+1} & a_{k+2} & \cdots & a_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{(t-1)k+1} & a_{(t-1)k+2} & \cdots & a_{kt} \\ \end{matrix}
选择任意一列，\(\alpha^k\) 会轮换这一列的所有元素。由矩阵大小可知 \(\alpha^k\) 是 \(k\) 个长度为 \(t\) 的复合。
C.2 求证：
- 两个偶置换的复合是偶置换；
- 两个奇置换的复合是偶置换；
- 一个偶置换和一个奇置换的复合是奇置换。
证明
考虑置换中对换的个数。两个置换复合，对换个数相加。 根据奇偶数的运算性质：
- 两个偶数的和是偶数；
- 两个奇数的和是偶数；
- 一个偶数和一个奇数的和是奇数。
即可得证。
C.3 求证：
- 奇数长度的轮换是偶置换；
- 偶数长度的轮换是奇置换。
证明
根据等式 \[(a_1\,a_2\cdots a_l) = (a_la_{l-1})(a_la_{l-2})\cdots(a_la_1)\] 可知，长度为 \(l\) 的轮换可以分解为 \((l-1)\) 个对换。根据奇偶置换的定义即可得证。