抽象代数习题(5) – 子群

最近在阅读 Charles C. Pinter 的《抽象代数》。选做其中的一些习题。

第五章讲子群。设 (G,·) 是一个群， H ⊆ G 是 G 的子集。当 (H,·) 也是一个群时，则称 H 是 G 的子群（H ≤ G）。

也可用下述条件判定：

  1. H 非空
  2. ∀x₁,x₂ ∈ H, x₁·x₂ ∈ H （H 对乘法封闭）
  3. ∀x ∈ H, x⁻¹ ∈ H （H 对逆元封闭）

D.5 设 G 是有限群，S 是 G 的非空子集。假定 S 对乘法封闭。证明 S 是 G 的子群。 （提示： 只须证明 S 包含 e 以及对逆元封闭即可。设 S = {a₁,…,aₙ}。如果 aᵢ ∈ S，考虑以下不同的元素 aᵢa₁,aᵢa₂,…,aᵢaₙ。）

证明 设 S = {a₁,…,aₙ}。如果 aᵢ ∈ S，则 aᵢx = aᵢy ⇔ x=y。所以 aᵢa₁,aᵢa₂,…,aᵢaₙ 互不相同，并恰好是 S 的全部元素。

因此，存在某个 j 使得 aᵢaⱼ = aᵢ。两边消去 aᵢ 得 aⱼ = e。因此 e ∈ S。

进一步，存在某个 k 使得 aᵢaₖ = e。于是 aᵢ 的逆元 aₖ 也在 S 中。这证明了 S 对逆元封闭。

所以 S 是 G 的子群，证明完毕。

D.6 设 G 是群， f : G → G 是函数。 f 的周期是 G 中满足以下条件的元素 a： 对任意 x ∈ G，有 f(x) = f(ax)。 求证： f 的所有周期构成的集合是群。

证明 f 的所有周期构成的集合是 S = {a ∈ G : ∀x ∈ G, f(x) = f(ax)}。

显见 S ⊆ G 且 e ∈ S （非空条件满足）。

乘法封闭性：设 a₁,a₂ ∈ S，则 ∀x ∈ G, f(x) = f(a₁x) = f(a₂x)。第一个等式中把 x 用 a₂x 代换得 f(a₂x) = f(a₁a₂x)，因此 f(x) = f(a₁a₂x)。这表明 a₁a₂ ∈ S。

逆元封闭性：设 a ∈ S，则 ∀x ∈ G, f(x) = f(aa⁻¹x) = f(a⁻¹x)。这表明 a⁻¹ ∈ S。

综上所述，S 是 G 的子群。

D.7 设 \(H\) 是 \(G\) 的子群，并设 \(K=\{x\in G : xax^{-1} \in H \iff a\in H\}\)。求证

  1. \(K\) 是 \(G\) 的子群。
  2. \(H\) 是 \(K\) 的子群。

1. 证明

显见 \(K\subseteq G\)，并且有 \(e \in K\) （非空条件满足）。

乘法封闭性：设 \(x_1,x_2\in K\)。得

\begin{align*} x_1ax_1^{-1} \in H &\iff a\in H\\ x_2ax_2^{-1} \in H &\iff a\in H\\ \end{align*}

注意 \(a\) 是一个哑元，它可以替换为任意表达式。

我们要证 \((x_1x_2)a(x_1x_2)^{-1} \in H\iff a\in H\)，如下：

首先根据结合性和逆元性质知 \((x_1x_2)a(x_1x_2)^{-1}=x_1(x_2ax_2^{-1})x_1^{-1}\)，于是

\begin{align*} (x_1x_2)a(x_1x_2)^{-1} \in H &\iff x_1(x_2ax_2^{-1})x_1^{-1} \in H \\ &\iff x_2ax_2^{-1} \in H \\ &\iff a \in H \\ \end{align*}

所以 \(x_1x_2 \in K\)。

逆元封闭性：设 \(x\in K\)，我们要证 \(x^{-1}ax\in H \iff a\in H\)，如下： \begin{align*} x^{-1}ax \in H &\iff x(x^{-1}ax)x^{-1} \in H \\ &\iff (xx^{-1})a(xx^{-1}) \in H \\ &\iff a \in H \\ \end{align*}

所以 \(x^{-1}\in K\)。

综上所述，\(K\) 对乘法和逆元都封闭，所以 \(K\) 是 \(G\) 的子群。

2. 证明

因为已知 \(H\) 是群，只须证明 \(H\subseteq K\) 即可，即证明 \(x\in H \Longrightarrow x\in K\)。

设 \(x\in H\)，我们要证 \(xax^{-1} \in H \iff a\in H\)，如下：

由于 \(H\) 是群，所以它对逆元封闭，因此 \(x^{-1}\in H\)。另一方面，它对乘法也封闭，所以

\[xax^{-1} \in H \iff x^{-1}xax^{-1}x \in H \iff a\in H\]

因此 \(x\in K\)，命题得证。

E.1 列出 (ℤ10,+) 的所有循环子群。

答

  1. {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
  2. {0,2,4,6,8}
  3. {0,5}
  4. {0}

E.2 证明 ℤ10 由 2 和 5 生成。

证明

只须证明 2x+5y=1 （其中x, y为整数）有解即可，其余元素均可由 1 生成。

而 2×3+5×(-1)=1，因而命题得证。

E.6 证明 ℤ₂×ℤ₃ 是循环群。证明 ℤ₃×ℤ₄ 是循环群。

证明

在 ℤ₂×ℤ₃ 中，以 (1,1) 为生成元得 (0,0) (1,1) (0,2) (1,0) (0,1) (1,2) (0,0)。 所以 ℤ₂×ℤ₃ = <(1,1)> 是 6 阶循环群。

在 ℤ₃×ℤ₄ 中，以 (1,1) 为生成元得 (0,0) (1,1) (2,2) (0,3) (1,0) (2,1) (0,2) (1,3) (2,0) (0,1) (1,2) (2,3) (0,0)。 所以 ℤ₂×ℤ₃ = <(1,1)> 是 12 阶循环群。

分享