《抽象代数》第十九章讲了环论中的几个概念：

• 陪集、商环和同态基本定理。它们和群论中的概念都是相对应的，只是额外涉及到了乘法运算。
• 素理想 (prime ideal) 和极大理想 (maximal ideal)。这些概念在群论的章节中没有讨论过。

C. \(\newcommand\F[1]{\mathscr F(\mathbb{#1})}\newcommand\FF[2]{\mathscr F(\mathbb{#1},\mathbb{#2})}\F R\) 的商环和同态的像

C.3 设 \(\phi\) 是从 \(\F R\) 到 \(\FF Q R\) 的函数，定义为： \[ \phi(f) = f_{\mathbb Q} = \text{将 $f$ 定义域限制在 $\mathbb Q$}\] 证明 \(\phi\) 是从 \(\F R\) 到 \(\FF Q R\) 的满同态，并说明 \(\phi\) 的核。

说明 \(\FF Q R\) 是所有从 \(\mathbb Q\) 到 \(\mathbb R\) 的函数构成的环。

证明 显然 \(\phi\) 是 \(\F R\) 到 \(\FF Q R\) 上的映射。不难证明 \(\phi\) 是满射：对于任意 \(f\in\FF Q R\)，只需对输入值的自变量补充定义（输出值任取）即可得到函数 \(\tilde f\in\F R\)，并且 \(\phi(\tilde f)=f\)。

设 \(f,g\in\F R\)，不难证明 \begin{gather*} \phi(f+g)(x) = f(x)+g(x) = [\phi(f)+\phi(g)](x)\\ \phi(fg)(x) = f(x)g(x) = [\phi(f)\phi(g)](x)\\ \end{gather*} 所以 \(\phi\) 是同态。结合满射可知 \(\phi\) 是满同态。

C.4 设 \(J\) 是 \(\F R\) 的子集，包含了所有满足“对任意有理数 \(x\) 都有 \(f(x) = 0\)”的函数 \(f\)。结合 C.3 说明为什么 \(J\) 是 \(\F R\) 的理想以及 \(\F R/J\cong \FF Q R\)。

说明 原书中此题似有排版错误。参考

证明 根据题意， \[J=\{f \in \F R : \forall x\in \mathbb Q,\,f(x)=0\}\] 这表明任意 \(f\in J\) 经 \(\phi\) 得到的像 \(\phi(f)\) 是 \(\FF Q R\) 中的零元。因此 \(J\) 是 \(\phi\) 的核。即 \[\phi\colon \F R \xrightarrow[\mskip-8mu^J\mskip40mu]{}\mkern-14mu\rightarrow \FF Q R\] 从而 \(J\) 是 \(\F R\) 的理想。根据 FHT 可知 \(\F R/J \cong\FF Q R\)。

D. 同态基本定理的基本应用

在以下各题中设 \(A\) 为交换环。如果 \(a\in A\) 且 \(n\) 为正整数，记号 \(na\) 表示 \[a+a+\cdots+a\qquad\text{($n$ 项)}\]

D.1 假定 \(2x = 0\) 对于任意 \(x\in A\) 都成立，证明 \((x+y)^2 = x^2+y^2\) 对任意 \(x,y\in A\) 都成立。并作出结论：函数 \(h(x)=x^2\) 是从 \(A\) 到 \(A\) 的同态。如果 \(J=\{x\in A : x^2 = 0\}\) 且 \(B = \{x^2 : x\in A\}\)，解释为什么 \(J\) 是 \(A\) 的理想，\(B\) 是 \(A\) 的子环，以及 \(A/J \cong B\)。

证明 在交换环中有 \[(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\] 根据假定条件，\(2xy = 0\)，所以 \[(x+y)^2 = x^2 + y^2\]

易知 \(h\) 是 \(A\to A\) 的映射。对任意 \(x,y\in A\) 有 \begin{gather*} h(x+y) = (x+y)^2 = x^2 + y^2 = h(x) + h(y)\\ h(xy) = (xy)^2 = x^2y^2 = h(x)h(y)\\ \end{gather*} 所以 \(h\) 是 \(A\to A\) 的同态。

• 因为 \(J\) 是 \(h\) 的核，所以 \(J\) 是 \(A\) 的理想。[第十八章习题 F.2]
• 因为 \(B = h(A)\)，而 \(h\) 是到 \(A\) 的函数，所以 \(B\) 是 \(A\) 的子环。[第十八章习题 F.1]
• 根据 FHT 可知 \(A/J \cong B\)。

E. 商环 A/J 的性质和 J 的性质的关系

设 A 是环，J 是 A 的理想。使用本章的条件 (1)、(2)、(3)。证明下列命题。

E.1 A/J 中的每个元素都有平方根，当且仅当对于任意 x ∈ A，存在 y ∈ A 使得 x - y² ∈ J.

说明 本章的三个条件是

1. a ∈ J+b 当且仅当 J+a = J+b
2. J+a = J+b 当且仅当 a-b ∈ J
3. J+a = J 当且仅当 a ∈ J

证明

（必要性）设 x ∈ A。那么 J+x ∈ A/J。根据已知条件可知存在 J+y ∈ A/J ，其中 y ∈ A，使得 J+x = (J+y)² = J+y²。由条件 (2) 可知 (x-y²) ∈ J。

（充分性）设 J+x ∈ A/J，其中 x ∈ A。根据已知条件可知存在 y ∈ A 使得 (x-y²) ∈ J。由条件 (2) 可知 J+x = J+y² = (J+y)²。因此 J+x 有平方根 J+y。

E.6 A/J 含有单位元，当且仅当存在 a ∈ A 使得 ax - x ∈ J 和 xa - x ∈ J 对任意 x ∈ A 恒成立。

证明

（必要性）A/J 中含有单位元，设单位元是 J+a，其中 a ∈ A。那么对任意的 x ∈ A 有 J+x = (J+x)(J+a) = J+xa。根据条件 (2) 可知 xa - x ∈ J 对任意 x ∈ A 恒成立。同理可证 ax - x ∈ J 对任意 x∈ A 恒成立。

（充分性）对 A/J 中任意元素 J+x，有 (J+x)(J+a) = J+xa。根据已知条件，xa - x ∈ J，由条件 (2) 得 J+xa = J+x。同理可证 (J+a)(J+x) = J+x。所以 J+a 是 A/J 中的单位元。

F. 素理想和极大理想

设 A 是含单位元的交换环，J 是 A 的理想。证明下列命题。

F.1 A/J 是含单位元的交换环。

证明 A/J 是环，因此只须证明存在单位元以及乘法满足交换律即可。

（单位元）对于任意 J+x ∈ A/J，有 (J+1)(J+x) = J+1x = J+x 以及 (J+x)(J+1) = J+x1 = J+x。这表明 J+1 是 A/J 中的单位元。

（交换律）对于任意 (J+x),(J+y) ∈ A/J，有 (J+x)(J+y) = J+xy = J+yx = (J+y)(J+x)。这表明 A/J 满足乘法交换律。

F.2 J 是素理想当且仅当 A/J 是整环。

证明

（必要性）设 (J+a),(J+b) ∈ A/J，且 (J+a)(J+b) = J+ab = J。由条件 (3) 得 ab ∈ J。因为 J 是素理想，所以或者 a ∈ J 或者 b ∈ J。进一步由条件 (3) 可知，或者 J+a = J 或者 J+b = J。注意到 J 是 A/J 中的零元。这说明 A/J 中不存在零因子，所以 A/J 是整环。

（充分性）设 a,b ∈ J，且 ab ∈ J。则由条件 (3) 得 J+ab = (J+a)(J+b) = J。因为 A/J 是整环（不存在零因子），所以或者 J+a = J 或者 J+b = J。进一步由条件 (3) 可知，或者 a ∈ J 或者 b ∈ J。根据素理想的定义可知，J 是素理想。

F.3 A 的任意极大理想都是素理想。（提示：使用本章证明的命题“如果 J 是极大理想则 A/J 是域”）

证明 设 J 是 A 的极大理想。那么 A/J 是域。域是整环的特例，根据 F.2 可知 J 是素理想。

F.4 如果 A/J 是域，那么 J 是极大理想。

证明一 根据同态基本定理可知存在 A 到 A/J 的满同态。根据第十八章习题 I.2 可知 J 是极大理想。

证明二 设 K 是 A 的理想且 J ⊊ K。因此存在 a ∈ K 但 a ∉ J。

根据条件 (3) 知 J+a ≠ J。这表明 J+a 是 A/J 中的非零元素。而 A/J 是域，并且单位元为 J+1，所以存在 J+b ∈ A/J 使得 (J+a)(J+b) = J+1。根据条件 (2) 知 (ab-1) ∈ J，从而 (ab-1) ∈ K。

因为 K 是理想（吸收乘法），所以 ab ∈ K。又因为理想对减法封闭，所以 1 = [ab - (ab-1)] ∈ K。

对于任意 x ∈ A，因为 K 吸收乘法，有 x = 1x ∈ K。这说明 A ⊆ K。根据理想定义，K ⊆ A。所以 K = A。

这表明没有比 J 大的真理想。因此 J 是 A 的极大理想。

G. 更多商环与其理想的关系

设 A 是环，J 是 A 的理想。（在 1–3 和 5 中假定 A 是含单位元的交换环。）

G.1 证明 A/J 是域当且仅当对于任意 a ∈ A 且 A ∉ J，存在 b ∈ A 使得 ab - 1 ∈ J。

证明

（充分性）取 A/J 中的非零元素 J+a，则 a ∈ A 且 a ∉ J。 根据条件，存在 b ∈ A 使得 ab - 1 ∈ J。所以 J+ab = J+1。因为 J+ab = (J+a)(J+b)，而 J+1 是 A/J 中的单位元，所以 J+a 存在逆元 J+b。因此 A/J 是域。

（必要性）设 a ∈ A 且 A ∉ J。则 J+a 是 A/J 中的非零元素。因为 A/J 是域，所以存在 J+b ∈ A/J 使得 (J+a)(J+b) = J+1。因此 ab - 1 ∈ J。

G.2 证明 A/J 中的非零元素或者可逆或者是零因子，当且仅当下面的性质成立，其中 a,x ∈ A：对于任意 a ∉ J，存在 x ∉ J 使得或者 ax ∈ J 或者 ax - 1 ∈ J。

（充分性）取 A/J 中的非零元素 J+a，则 a ∈ A 且 a ∉ J。 根据条件，存在 x ∈ A 且 x ∉ J 使得或者 ax ∈ J 或者 ax - 1 ∈ J。

1. 如果 ax ∈ J，那么 (J+a)(J+x) = J+ax = J。因为 J+a 和 J+x 都是非零元素，而 J 是 A/J 中的零元，所以 J+a 是零因子。
2. 如果 ax-1 ∈ J，那么 (J+a)(J+x) = J+ax = J+1。因为 J+1 是 A/J 中的单位元，所以 J+a 可逆，且逆是 J+b。

总之，J+a 或者可逆或者是零因子。

（必要性）取任意 a ∈ A\J。则 J+a 是 A/J 中的非零元素。根据条件，J+a 或者可逆或者是零因子。

1. 如果 J+a 可逆，那么存在非零元素 J+x ∈ A/J，其中 x ∈ A\J，使得 (J+a)(J+x) = J+ax = J+1。从而有 ax - 1 ∈ J。
2. 如果 J+a 是零因子，那么存在非零元素 J+x ∈ A/J，其中 x ∈ A\J，使得 (J+a)(J+x) = J+ax = J，从而有 ax ∈ J，

总之，存在 x ∈ A\J，使得或者 ax ∈ J 或者 ax - 1 ∈ J。

G.3 环 A 的理想 J 称为准素 (primary) 的，当且仅当对于任意 a,b ∈ A，如果 ab ∈ J，则或者 a ∈ J 或者存在正整数 n 使得 bⁿ ∈ J。证明 A/J 中的每个零因子是幂零的当且仅当 J 是准素理想。

证明

（充分性）设 J+b 是 A/J 中的一个零因子，其中 b ∈ A\J。那么存在 J+a ∈ A/J，其中 a ∈ A\J，使得 (J+a)(J+b) = J。于是 ab ∈ J。根据准素理想定义，以及 a ∉ J，可知存在正整数 n 使得 bⁿ ∈ J。因此 (J+b)ⁿ = J+bⁿ = J。这说明 (J+b) 是幂零的。

（必要性）设 a,b ∈ A 且 ab ∈ J。分类讨论：

1. 如果 a ∈ J，则不做进一步讨论。
2. 如果 b ∈ J，则存在正整数 n=1 使得 bⁿ ∈ J。
3. 如果 a,b ∉ J，那么 J+a 和 J+b 均为 A/J 中的非零元素。但 (J+a)(J+b) = J+ab = J，因此 J+b 是零因子。根据条件，A/J 的每个零因子都是幂零的，因此 J+b 是幂零的。这说明存在正整数 n 使得 bⁿ ∈ J。

综上所述，或者 a ∈ J，或者存在正整数 n 使得 bⁿ ∈ J。这就说明了 J 是准素的。

H. ℤ_n 作为 ℤ 的同态的像

函数\[f(a)=\bar a\]是从 \(\mathbb Z\) 到 \(\mathbb Z_n\) 的自然同态。如果多项式方程 \(p=0\) 在 \(\mathbb Z\) 中成立，那么必有 \(f(p)=f(0)\) 在 \(\mathbb Z_n\) 中成立。

举一个具体的例子：方程 \(11x^2-8y^2+29=0\) 有整数解（比如 \(x=3,y=4\)）。那么在 \(\mathbb Z_6\) 中一定有 \(\bar x\) 和 \(\bar y\) 满足 \(\overline{11}\bar x^2-\overline{8}\bar y^2+\overline{29}=\overline{0}\) 在 \(\mathbb Z_6\) 中成立，也就是 \(\overline{5}\bar x^2-\overline{3}\bar y^2+\overline{5}=\overline{0}\)（相应的解为\(\bar x=\bar 3,\bar y=\bar 4\)）。下列问题基于这个观察。

H.1 证明方程 \(x^2-7y^2-24=0\) 无整数解。

证明 方程在 \(\mathbb Z_7\) 中对应的方程为 \[\bar x^2 - \bar 3 = \bar 0\] 这个方程是无解的（枚举 0–6 即可）。所以原方程不可能有整数解。

H.2 证明方程 \(x^2+(x+1)^2+(x+2)^2 = y^2\) 无整数解。

证明 原方程等价于 \[3x^2 + 6x + 5 = y^2\] 在 \(\mathbb Z_3\) 中对应的方程为 \[\bar 2 = \bar y^2\] 这个方程是无解的。所以原方程不可能有解。

H.3 证明方程 \(x^2+10y^2 = n\)（其中 \(n\) 是整数）没有整数解，如果 \(n\) 的（十进制）末位数是 2、3、7 或者 8。

证明 原方程在 \(\mathbb Z_{10}\) 中对应的方程为 \[\bar x^2 = \bar n\] 这里 \(\bar n\) 对应于 \(n\) 的末位数字。因为 \(\bar x^2\) 所有可能的取值是 \(\{\bar0,\bar1,\bar4,\bar9,\bar6,\bar5\}\)，所以当 \(n\) 的末尾是 2、3、7 或者 8 时，原方程无整数解。

H.4 证明数列 \(3, 8, 13, 18, 23, \ldots\) 不含完全平方数。

证明 通项为 \(5n - 2\)。列方程 \[5n-2 = x^2\] 在 \(\mathbb Z_5\) 中有 \[\bar x^2 = 3\] 而 \(\bar x^2\) 所有可能的取值为 \(\{\bar0,\bar1,\bar4\}\)，因此原方程无整数解。所以该序列中不含完全平方数。

H.5 证明数列 \(2, 10, 18, 26, \ldots\) 不含立方数。

证明 列方程 \[8n - 6 = x^3\] 在 \(\mathbb Z_4\) 中有 \[\bar x^3 = 2\] 而 \(\bar x^3\) 所有可能的取值为 \(\{\bar0,\bar1,\bar3\}\)，因此原方程无整数解。所以该序列中不含立方数。

H.8 证明连续三个整数的乘积的末位数一定是 0 或 4 或 6。

证明 设 \(n = (x-1)x(x+1) = x^3 - x\)。在 \(\mathbb Z_{10}\) 中有 \[\bar n = \bar x^3 - \bar x\] 其中 \(\bar n\) 对应 \(n\) 的末位数。经计算得 \[\bar n=\cases{\bar 0&$\bar x=\bar0,\bar1,\bar4,\bar5,\bar6,\bar9$,\cr \bar 4&$\bar x=\bar3,\bar8$,\cr \bar 6&$\bar x=\bar2,\bar7$.}\] 这表明 \(n\) 的末位数一定是 0 或 4 或 6。

注 需要考虑负数的情况。如果定义绝对值的末位为负数的末位，那么 \(\bar x=\bar0,\bar4,\bar6\) 分别对应末位数字 0、6 和 4。幸运的是这不影响命题的正确性。