《抽象代数》第十八章讲的几个概念和群论中的概念相对应：

• 子群 ↔ 子环
• 正规子群 ↔ 理想 (ideal)
• 群同态 ↔ 环同态

A. 子环的例子

B.3 证明 {x2^y : x,y ∈ ℤ} 是 ℝ 的子环。

证明 设这个环是 H。则 0 ∈ H ⊂ ℝ。这表明 H 非空。

设 a,b ∈ H，那么 a=x₁2^y₁, b = x₂^2y₂。 不失一般性，设 y₁ ≤ y₂，那么 b = x₂2^y₂-y₁2^y₁。

于是有 a-b = (x₁ - x₂^y₂-y₁)2^y₁。 因为 (x₁ - x₂^y₂-y₁) ∈ ℤ，y₁ ∈ ℤ，所以 a-b ∈ H。

另一方面，ab = ba = x₁x₂2^y₁+y₂，所以 ab ∈ H。

这说明 H 对减法和乘法都封闭。所以 H 是 ℝ 的子环。

B.4 设 $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ 为 $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 上所有在 $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ 上连续的函数构成的集合，$\mathcal{D}(\mathbb{R})$ 为 $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 上所有在 $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ 上可导的函数构成的集合。证明 $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ 和 $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ 都是 $\mathcal{F}(\mathbb{R})$ 的子环。

证明 显然它们都是非空集合。

根据微积分学知识，连续（可导）函数的差和积都是连续（可导）函数。 这说明了 $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ 和 $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ 各自对减法和乘法封闭。 因此，它们各自都是 $\mathcal{F}(\mathbb{R})$ 的子环。

B. 理想的例子

B.1 找出 ℤ 的理想，并解释：{(n,n) : n ∈ ℤ}; {(5n,0) : n ∈ ℤ}; {(n,m) : n+m 是偶数}; {(n,m) : nm 是偶数}; {(2n,3m) : n,m ∈ ℤ}。

答

1. {(n,n) : n ∈ ℤ} 不是理想。反例：(1,1) (1,2) = (1,2)。
2. {(5n,0) : n ∈ ℤ} 是理想。因为它对减法封闭，并且对任意 (5n,0) 和 (a,b)，乘积为 (5(an), 0)。
3. {(n,m) : n+m 是偶数} 不是理想。反例：(1,1) (1,2) = (1,2)。
4. {(n,m) : nm 是偶数} 是理想。因为它对减法封闭，并且对于任意 (n,m) 和 (a,b)，乘积为 (na,mb)，这里 (na)(mb) = nm(ab) 是偶数。
5. {(2n,3m) : n,m ∈ ℤ} 是理想。因为它对减法封闭，并且对于任意 (2n,3m) 和 (a,b)，乘积为 (2(na),3(mb))。

B.2 解释为什么 ℤ 的任意子环都是理想。

答 设 H 是 ℤ 的子环。设 x ∈ H, y ∈ ℤ。

1. 如果 y = 0，则根据子环必有零元可知 xy = yx = 0 ∈ H。
2. 如果 y > 0，那么 yx = xy = y 个 x 相加。根据子环对加法封闭可知，yx,xy ∈ H。
3. 如果 y < 0，那么 -y > 0。根据子环对加法逆元封闭可知 -x ∈ H，类比第 2 条的推理可知 yx,yx ∈ H。

综上所述，不论如何总有 xy,yx ∈ H，这说明 H 是 ℤ 的理想。

注 这个特性是由整数集将乘法定义为“重复的加法”决定的。一般的环并不要求乘法和加法之间有如此特别的关系。

C. 子环的基本性质

C.1 求证：环 A 的非空子集 B 对加法和逆元封闭当且仅当 B 对减法封闭。

证明

（充分性）设 x,y ∈ B。根据 B 对减法封闭，得 0 = x - x ∈ B。进一步有 -x = 0 - x ∈ B。这说明 B 对逆元封闭。 又因为 y + x = y - (-x) ∈ B，所以 B 对加法也封闭。

（必要性）设 x,y ∈ B。根据 B 对逆元封闭，得 -y ∈ B。又根据 B 对加法封闭，有 x - y = x + (-y) ∈ B。这说明 B 对减法封闭。

C.4 求证：如果整环 A 的子环 B 含 1，那么 B 是整环。

证明 B 是整环需要满足三个条件：

1. 含单位元（已知条件）。
2. 乘法满足交换律（继承自 A）。
3. 消去律成立。这个条件等价于不含零因子。因为 A 中没有零因子，所以 B 中一定没有零因子。

三个条件均满足，所以 B 是整环。

C.5 每个域的含 1 的子环都是整环。

证明 域是整环。根据 C.4 立即得出结论。

C.8 设 A 是环，f: A → A 是环同态，B = {x ∈ A : f(x) = x}。证明 B 是 A 的子环。

证明 显然 0 ∈ B ⊆ A。

设 x,y ∈ B，那么 f(x-y) = f(x+(-y)) = f(x) + f(-y) = x + (-y) = x-y。因此 x-y ∈ B。这说明 B 对减法封闭。

另一方面，f(xy) = f(x)f(y) = xy。同理 f(yx) = yx。因此 xy, yx ∈ B。这说明 B 对乘法封闭。

综上所述，B 是 A 的子环。

C.9 环 A 的中心 (center) 指的是所有的 a ∈ A，满足 ax = xa 对任意 x ∈ A 恒成立。证明 A 的中心是 A 的子环。

证明 记 A 的中心为 Z(A)。显然 0 ∈ Z(A) ⊆ A。

设 a,b ∈ Z(A)，那么对任意 x ∈ A，有 (a-b)x = ax - bx = xa - xb = x(a-b)。因此 Z(A) 对减法封闭。

另一方面，abx = axb = xab；bax = bxa = xba。这说明 Z(A) 对乘法封闭。

综上所述，Z(A) 是 A 的子环。

D. 理想的基本性质

D.2 如果 A 是含单位元的环，证明 J 是 A 的理想当且仅当 J 对加法封闭并且 J 在 A 中吸收乘法。

证明 只须证明充分性即可；必要性根据理想的定义可以直接得到。

J 是 A 的理想需满足如下条件：

1. J 对加法封闭。
2. J 对加法逆元封闭。
3. J 在 A 中吸收乘法。

其中 1 和 3 均为已知条件，因此只须证明 2 即可。

设 a ∈ J，则根据 J 在 A 中吸收乘法可知对任意 x ∈ A，有 ax, xa ∈ A。 取 x = -1，得 -a ∈ A。这说明 J 对加法逆元封闭。

D.4 求证：如果 J 是 A 的理想且 1 ∈ J，那么 J = A。

证明 只须证明 A ⊆ J 即可。

设 a ∈ J。根据 J 是 A 的理想可知，ax ∈ J 对任意 x ∈ A 都成立。 当 a = 1 时，对任意 x ∈ A 都有 x ∈ J。这表明 A ⊆ J。

D.5 求证：如果 J 是 A 的理想，并且 J 包含 A 中的可逆元素 a，那么 J = A。

证明 根据 J 是 A 的理想可知，ax ∈ J 对任意 x ∈ A 都成立。 取 x 为 a 的逆元，则 ax = 1，于是 1 ∈ J。由 C.4 可知 J = A。

D.6 说明域 F 不可能有非平凡理想（即，除了 {0} 和 F 外没有其他理想）。

答 设 I 是 F 的理想，且含有非零元素 x。因为 x ∈ F，所以 x 可逆。根据 D.5 可知 I = F。

E. 同态的例子

证明下列函数是环同态，并指出它们的核和值域。

E.1 $\varphi :\mathcal{F}(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$ 定义为 $\varphi (f)=f(0)$。

证明 设 $f,g\in \mathcal{F}(\mathbb{R})$，则 $$\begin{array}{rl}\varphi (f+g)& =(f+g)(0)\\ & =f(0)+g(0)\\ & =\varphi (f)+\varphi (g)\\ \varphi (fg)& =(fg)(0)\\ & =f(0)g(0)\\ & =\varphi (f)\varphi (g)\end{array}$$ 所以 $\varphi$ 是环同态。它的核是 $\{f\in \mathcal{F}(\mathbb{R}):f(0)=0\}$。 它的值域是 $\mathbb{R}$。

E.2 $h:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 定义为 $h(x,y)=x$。

证明 设 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}$，则 $$\begin{array}{rl}h(x_1+x_2,y_1+y_2)& =x_1+x_2\\ & =h(x_1,y_1)+h(x_2,y_2)\\ h(x_1{x}_2,y_1{y}_2)& =x_1{x}_2\\ & =h(x_1,y_1)h(x_2,y_2)\end{array}$$ 所以 $h$ 是环同态。它的核是 $\{(0,y):y\in \mathbb{R}\}$。 它的值域是 $\mathbb{R}$。

E.5 设 $A$ 是集合 $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ 附带通常的加法运算以及如下定义的“乘法”运算： $$(a,b)\odot (c,d)=(ac,bc)$$ 默认 $A$ 是环，考虑函数 $f:A\to {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ 定义为 $$f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}x& 0\\ y& 0\end{array}\right)$$

证明 设 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}$，则 $$\begin{array}{rl}f(x_1+x_2,y_1+y_2)& =\left(\begin{array}{cc}{x}_1+x_2& 0\\ y_1+y_2& 0\end{array}\right)\\ & =f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2)\\ h(x_1{x}_2,y_1{x}_2)& =\left(\begin{array}{cc}{x}_1{x}_2& 0\\ y_1{x}_2& 0\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}{x}_1& 0\\ y_1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{x}_2& 0\\ y_2& 0\end{array}\right)\\ & =h(x_1,y_1)h(x_2,y_2)\end{array}$$ 所以 $f$ 是环同态。它的核是 $\{(0,0)\}$。 它的值域是 $\{(\begin{array}{cc}x& 0\\ y& 0\end{array}):x,y\in \mathbb{R}\}$。

F. 同态的基本性质

设 $A$ 和 $B$ 是环，$f:A\to B$ 是同态。证明下列命题。

F.1 $f(A)=\{f(x):x\in A\}$ 是 $B$ 的子环。

证明 显然 $0\in f(A)\subseteq B$。

设 $y_1,y_2\in f(A)$，则存在 $x_1,x_2\in A$ 使得 $y_1=f(x_1)$, $y_2=f(x_2)$。 根据同态的性质，$y_1-y_2=f(x_1)-f(x_2)=f(x_1-x_2)$。因为 $x_1-x_2\in A$，所以 $y_1-y_2\in f(A)$。这说明 $f(A)$ 对减法封闭。

另一方面，$y_1{y}_2=f(x_1)f(x_2)=f(x_1{x}_2)$。因为 $x_1{x}_2\in A$，所以 $y_1{y}_2\in f(A)$。这说明 $f(A)$ 对乘法封闭。

综上所述，$f(A)$ 是 $B$ 的子环。

F.2 $f$ 的核是 $A$ 的理想。

证明 设 $f$ 的核为 $K=\{x\in A:f(x)=0\}$。

显然 $0\in K\subseteq A$。

设 $a,b\in K$，则 $$f(a-b)=f(a)-f(b)=0-0=0$$ 所以 $(a-b)\in K$。这表明 $K$ 对减法封闭。

对任意 $x\in A$，有 $$f(ax)=f(a)f(x)=0f(x)=0$$ 所以 $ax\in K$。同理可证 $xa\in K$。这表明 $K$ 对乘法封闭。

综上所述，$K$ 是 $A$ 的理想。

F.4 $f$ 是单射当且仅当它的核是 $\{0\}$。

证明

（充分性）设 $x,y\in A$ 且 $f(x)=f(y)$。则 $$f(x-y)=f(x)-f(y)=0$$ 而 $f$ 的核为 $\{0\}$，则只能是 $x-y=0$。 因此 $x=y$。这说明 $f$ 是单射。

（必要性）设 $f$ 的核是 $K$。易知 $f(0)=0$，因此 $0\in K$。 设 $x\in K$，那么根据核的定义有 $$f(x)=0$$ 又因为 $f$ 是单射，则只能是 $x=0$。 这说明 $K=\{0\}$。

F.5 设 $B$ 是整环，则或者 $f(1)=1$ 或者 $f(1)=0$。

• 如果 $f(1)=0$，则对任意 $x\in A$ 有 $f(x)=0$。
• 如果 $f(1)=1$，则 $A$ 中任意可逆元素的像都是 $B$ 中的可逆元素。

证明 设 $x\in A$，则 $$f(x)=f(1x)=f(1)f(x)$$ 接下来需要分类讨论。

1. 如果存在 $x\in A$ 使得 $f(x)\ne 0$，那么根据 $B$ 是整环，消去 $f(x)$ 得 $$f(1)=1$$
2. 否则，对于任意 $x\in A$ 都有 $f(x)=0$。取 $x=1$ 得 $$f(1)=0$$

总之，$f(1)=1$ 和 $f(1)=0$ 必有一个成立。

当 $f(1)=1$ 时，取可逆元素 $a\in A$，有 $$f(a)f(a^{-1})=f(a{a}^{-1})=f(1)=1$$ 这说明 $a$ 的像 $f(a)$ 在 $B$ 中可逆，且逆元为 $f(a^{-1})$。

F.6 交换环在同态下的像都是交换环。域在同态下的像都是域。

证明 设 $A$ 为交换环。根据 F.1 知 $f(A)$ 是环。$f(A)$ 满足乘法交换律，因为对于任意 $x,y\in A$，有 $$f(x)f(y)=f(xy)=f(yx)=f(y)f(x)$$ 因此 $f(A)$ 是交换环。

设 $F$ 为域。根据 F.1 知 $f(F)$ 是环。$f(F)$ 满足乘法交换律（同上；域是交换环的特例）。对于任意的 $x\in F\mathrm{\setminus }\{0\}$，$f(x)$ 都有乘法逆元，证明已经由 F.5 给出（域是整环的特例）。所以 $f(F)$ 是域。

F.7 如果同态 $f$ 的定义域 (domain) $A$ 是域 (field)，且 $f$ 的值域 (range) 有不止一个元素，则 $f$ 是单射。

证明 由 F.2 知 $f$ 的核为 $A$ 的理想。因为 $A$ 是域，根据 D.4，它只有平凡理想 $\{0\}$ 和 $A$ 本身。 假设 $f$ 的核为 $A$，则对任意 $x\in A$ 都有 $f(x)=0$，从而 $f$ 的值域只有一个元素 $0$，和已知条件矛盾。所以只可能是 $f$ 的核为 $\{0\}$。根据 F.4 可知 $f$ 是单射。

G. 同构的例子

G.1 设 $A$ 是第十七章练习 A.2 中的环。证明函数 $f(x)=x-1$ 是 $\mathbb{Q}\to A$ 的同构，即有 $\mathbb{Q}\cong A$。

说明 A.2 中的环 $A$ 由 $\mathbb{Q}$ 中的元素和如下定义的加法和乘法运算构成： $$a\oplus b=a+b+1a\odot b=ab+a+b$$

证明 显然有 $f^{-1}(x)=x+1$，因此 $f$ 是双射。

设 $x,y\in \mathbb{Q}$，则 $$\begin{array}{rl}f(x)\oplus f(y)& =(x-1)\oplus (y-1)\\ & =(x-1)+(y-1)+1\\ & =x+y-1\\ & =f(x+y)\\ f(x)\odot f(y)& =(x-1)\odot (y-1)\\ & =(x-1)(y-1)+(x-1)+(y-1)\\ & =xy-1\\ & =f(xy)\end{array}$$ 所以 $f$ 是 $\mathbb{Q}\to A$ 的同构。

G.2 设 $\mathcal{S}$ 是集合 ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ 的子集，定义如下： $$\mathcal{S}=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right):a,b\in \mathbb{R}\}$$ 证明函数 $$f(a+bi)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$$ 是 $\mathbb{C}\to \mathcal{S}$ 的同构。

证明 不难证明 $f$ 是良定义的。 设 $z_1,z_2\in \mathbb{C}$，并写成实部 + 虚部的形式： $$z_1=x_1+y_{1}i,z_2=x_2+y_{2}i$$ 则 $$\begin{array}{c}{z}_1+z_2=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i\\ z_1{z}_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i\end{array}$$

根据 $$\begin{array}{rl}f(z_1)+f(z_2)& =\left(\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ -y_1& x_1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}{x}_2& y_2\\ -y_2& x_2\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}{x}_1+x_2& y_1+y_2\\ -(y_1+y_2)& x_1+x_2\end{array}\right)\\ & =f(z_1+z_2)\\ f(z_1)f(z_2)& =\left(\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ -y_1& x_1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{x}_2& y_2\\ -y_2& x_2\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}{x}_1{x}_2-y_1{y}_2& x_1{y}_2+x_2{y}_1\\ -(x_1{y}_2+x_2{y}_1)& x_1{x}_2-y_1{y}_2\end{array}\right)\\ & =f(z_1{z}_2)\end{array}$$ 所以 $f$ 是 $C\to \mathcal{S}$ 的同态。要证明它是同构，只须证明它是双射即可。

设 $f(z_1)=f(z_2)$，那么 $$\left(\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ -y_1& x_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{x}_2& y_2\\ -y_2& x_2\end{array}\right)$$ 按照矩阵相等的法则，有 $$x_1=x_2,y_1=y_2$$ 按照复数相等的法则可知 $z_1=z_2$。所以 $f$ 是单射。

另一方面，对于任意 $\mathcal{S}$ 中的元素 $(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array})$，都有复数 $(a+bi)$ 与之对应。因此 $f$ 是满射。

综上所述，$f$ 是 $\mathbb{C}\to \mathcal{S}$ 的同态，又是双射，所以是 $\mathbb{C}\to \mathcal{S}$ 的同构。

G.5 证明 $\mathbb{Z}\ncong 2\mathbb{Z}$；然后证明 $2\mathbb{Z}\ncong 3\mathbb{Z}$。最后，解释为什么当 $k\ne l$ 时有 $k\mathbb{Z}\ncong l\mathbb{Z}$。

证明

$\mathbb{Z}$ 中有乘法单位元 $1$，而 $2\mathbb{Z}$ 中没有。所以它们不可能同构。

考虑方程 $x+x=ax$。存在 $a\in 2\mathbb{Z}$ 使得方程对任意 $x\in 2\mathbb{Z}$ 恒成立（事实上，$a=2$）。但在 $3\mathbb{Z}$ 中不存在具备同样性质的元素。所以它们不可能同构。

如果 $k,l$ 中一个为零，另一个不为零。则显然 $k\mathbb{Z}$ 和 $l\mathbb{Z}$ 中有一个是平凡环 $\{0\}$，只有一个元素，另一个有无穷个元素。所以两者不可能同构。

因为 $-n\mathbb{Z}\cong n\mathbb{Z}$，所以也不用考虑负数的情况。不失一般性，设 $0<k<l$。假设 $k\mathbb{Z}\cong l\mathbb{Z}$，那么存在 $f:k\mathbb{Z}\to l\mathbb{Z}$ 是同构。

取 $l\mathbb{Z}$ 中的一个非零元素 $x$，那么 $$\underset{k}{\underbrace{f^{-1}(x)+\cdots +f^{-1}(x)}}=k{f}^{-1}(x)$$ 两边应用 $f$ 得 $$\underset{k}{\underbrace{x+\cdots +x}}=f(k)x$$ 这里 $x,f(k)\in l\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Z}$。在 $\mathbb{Z}$ 中此方程等价于 $$kx=f(k)x$$ 因为 $x\ne 0$，由消去律得 $f(k)=k$。但这是不可能的，因为 $l\mathbb{Z}$ 中的最小正整数是 $l>k$，所以 $k\notin l\mathbb{Z}$。这个矛盾表明假设不成立，所以 $k\mathbb{Z}\ncong l\mathbb{Z}$。

注 这里仍然和整数集中乘法被定义为“重复的加法”有关。因为这样的定义，可以通过重复的加法引入任意的正整数作为乘数。

H. 理想的更多性质

设 $A$ 是环，$J$ 和 $K$ 是 $A$ 的理想。

证明 1–4。（在 2–4 中假定$A$ 是交换环。）

H.1 如果 $J\cap K=\{0\}$，则对任意 $j\in J$ 和 $k\in K$ 都有 $jk=0$。

证明 因为 $J$ 是 $A$ 的理想，而 $k\in K\subseteq A$，所以 $jk\in J$。 同理可证 $jk\in K$。这说明 $jk\in (J\cap K)$。而 $J\cap K=\{0\}$，所以只可能是 $jk=0$。

H.2 对于任意 $a\in A$，$I_a=\{ax+j+k:x\in A,j\in J,k\in K\}$ 是 $A$ 的理想。

证明 显然 $0\in I_a\subseteq A$。

设 $i_1,i_2\in I_a$，则存在 $x_1,x_2\in A$, $j_1,j_2\in J$, $k_1,k_2\in K$ 使得 $$i_1=a{x}_1+j_1+k_1,i_2=a{x}_2+j_2+k_2$$ 相减得 $$i_1-i_2=a(x_1-x_2)+(j_1-j_2)+(k_1-k_2)$$ 根据 $A$, $J$, $K$ 对减法的封闭性可知 $(i_1-i_2)\in I_a$。所以 $I_a$ 对减法封闭。

另一方面，对任意 $x\in A$，有 $$i_{1}x=a{x}_{1}x+j_{1}x+k_{1}x$$ 根据 $A$ 对乘法封闭、$J$ 和 $K$ 分别在 $A$ 中吸收乘法可知 $i_{1}x\in I_a$。 因为 $A$ 是交换环，所以 $x{i}_1=i_{1}x\in I_a$。所以 $I_a$ 在 $A$ 中吸收乘法。

综上所述，$I_a$ 是 $A$ 的理想。

H.3 $J$ 的方根 (radical) 指集合 $\mathrm{rad}J=\{a\in A:\mathrm{\exists }n\in \mathbb{Z},a^n\in J\}$。 对于任意理想 $J$，$\mathrm{rad}J$ 是 $A$ 的理想。

证明 显然 $0\in \mathrm{rad}J\subseteq A$。

设 $a,b\in \mathrm{rad}J$，则存在 $n,m\in \mathbb{Z}$ 使得 $a^n,b^m\in J$。 因为 $A$ 是交换环，可以使用二项式定理： $$\begin{array}{}\text{(}\ast \text{)}& (a-b{)}^{n+m}& =\sum _{k=0}^{n+m}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{k})\cdot a^{n+m-k}(-b{)}^k\end{array}$$

• 当 $0\le k<m$ 时，$n+m-k>n$，所以 $a^{n+m-k}=a^n{a}^{m-k}$。因为 $a^n\in J$ 且 $J$ 是理想（吸收乘法），所以 $a^{n+m-k}=a^n{a}^{m-k}\in J$。
• 当 $k\ge m$ 时，$(-b{)}^k=\pm b^m{b}^{k-m}$，当 $k$ 为奇数时取负号，偶数时取正号。 因为 $b^m\in J$ 且 $J$ 是理想（吸收乘法、对加法逆元封闭），所以 $(-b{)}^k=\pm b^m{b}^{k-m}\in J$。

总之，$a^{n+m-k}$ 和 $(-b{)}^k$ 中至少有一个是 $J$ 的元素。由 $J$ 是理想（吸收乘法、对加法封闭）可知，$(\ast )$ 中右侧求和式中的每一项都是 $J$ 的元素，因此求和结果也是 $J$ 的元素。 这说明存在 $(n+m)\in \mathbb{Z}$ 使得 $(a-b{)}^{n+m}\in J$，所以 $(a-b)\in \mathrm{rad}J$。 所以 $\mathrm{rad}J$ 对减法封闭。

另一方面，对于任意 $x\in A$， $$(ax{)}^n=a^n{x}^n$$ 而 $a^n\in J$，根据 $J$ 是理想（吸收乘法）可知 $(ax{)}^n\in J$。这表明 $ax\in \mathrm{rad}J$。 因为 $A$ 是交换环，所以 $xa=ax\in \mathrm{rad}J$。所以 $\mathrm{rad}J$ 在 $A$ 中吸收乘法。

综上所述，$\mathrm{rad}J$ 是 $A$ 的理想。

H.4 对于任意 $a\in A$，$\{x\in A:ax=0\}$ 是理想（称为 $a$ 的零化子 (annihilator)）。 此外，$\{x\in A:\mathrm{\forall }a\in A,ax=0\}$ 是理想（称为 $A$ 的零化理想 (annihilating ideal)）。 如果 $A$ 是含单位元的环，它的零化理想等于 $\{0\}$。

证明（零化子、零化理想） 容易验证它们都是非空子集、都对减法封闭、都吸收乘法，因此它们都是理想。具体过程略。

证明（含单位元的环） 设 $x$ 是零化理想中的元素。则对于任意 $a\in A$，都有 $$ax=0$$ 成立。因为 $A$ 含单位元，在上式中取 $a=1$ 得 $$1x=0\text{即}x=0$$ 所以凡是零化理想中的元素都是 $0$，即零化理想为 $\{0\}$。

H.5 证明 $\{0\}$ 和 $A$ 是 $A$ 的理想。（它们是平凡理想；$A$ 的所有其他理想是真理想）。 理想 $J$ 被称为极大的 (maximal)，如果它不被任何严格更大的真理想所包含：也就是说，如果 $J⊊K$，其中 $K$ 是理想且包含某个 $J$ 中没有的元素，那么一定有 $K=A$。证明下面一个极大理想的例子：在 $\mathcal{F}(\mathbb{R})$ 中，理想 $J=\{f:f(0)=0\}$。

证明（平凡理想） 容易验证平凡理想都是非空子集、都对减法封闭、都吸收乘法，因此它们都是理想。具体过程略。

证明（极大理想） 设 $K$ 是 $\mathcal{F}(\mathbb{R})$ 的理想且 $J⊊K$。那么存在 $g\in K$ 但 $g\notin J$。于是有 $g(0)\ne 0$。

定义 $h(x)=g(x)-g(0)$，则 $h(0)=0$。于是 $h\in J$，所以 $h\in K$。 根据理想对减法封闭可知，$(g-h)\in K$。而 $(g-h)(x)=g(0)\ne 0$。这意味着 $(g-h)$ 可逆，且逆元由 $(g-h{)}^{-1}(x)=1/g(0)$ 定义。

根据 D.5，因为 $K$ 中含有可逆元素，所以 $K=A$。这就证明了 $J$ 是极大理想。

I. 同态的更多性质

设 $A$ 和 $B$ 是环。证明下列命题。

I.1 如果 $f:A\to B$ 是满同态且核为 $K$，并且 $J$ 是 $A$ 的理想且 $K\subseteq J$，那么 $f(J)$ 是 $B$ 的理想。

证明 显然 $f(J)\subseteq B$。因为 $K\subseteq J$，所以 $0\in f(J)$。这说明 $f(J)$ 是 $B$ 的非空子集。

设 $y_1,y_2\in f(J)$，则存在 $x_1,x_2\in J$ 使得 $$y_1=f(x_1),y_2=f(x_2)$$ 那么 $$y_1-y_2=f(x_1)-f(x_2)=f(x_1-x_2)$$ 因为 $J$ 是理想（对减法封闭），所以 $(x_1-x_2)\in J$。于是 $y_1-y_2=f(x_1-x_2)\in f(J)$。 这说明 $f(J)$ 对减法封闭。

另一方面，对于任意 $y\in B$，因为 $f$ 是满射，所以存在 $x\in A$ 使得 $f(x)=y$。 那么 $$y_{1}y=f(x_1)f(x)=f(x_{1}x)$$ 因为 $J$ 是理想（吸收乘法），所以 $x_{1}x\in J$。于是 $y_{1}y=f(x_{1}x)\in f(J)$。

综上所述，$f(J)$ 是 $B$ 的理想。

I.2 如果 $f:A\to B$ 是满同态，并且 $B$ 是域，那么 $f$ 的核是极大理想。

证明 设 $K$ 是 $f$ 的核。根据 F.2 可知 $K$ 是 $A$ 的理想。 设 $J$ 是 $A$ 的理想且 $K⊊J$。根据 I.1 得 $f(J)$ 是 $B$ 的理想。

根据 D.6，因为 $B$ 是域，所以它只有平凡理想 $\{0\}$ 和 $B$ 本身。因为 $J\ne K$，所以 $f(J)\ne \{0\}$。因此只可能是 $f(J)=B$。

要证明 $J=A$，只须证明 $A\subseteq J$ 即可。 设 $x\in A$，则 $f(x)\in B$。根据 $f(J)=B$ 知存在 $x^{\prime }\in J$ 使得 $f(x^{\prime })=f(x)$。 于是 $$f(x^{\prime }-x)=f(x^{\prime })-f(x)=0$$ 这说明 $(x^{\prime }-x)\in K$，从而 $(x^{\prime }-x)\in J$。因为 $J$ 是理想（对减法封闭），所以有 $$x=[x^{\prime }-(x^{\prime }-x)]\in J$$ 这说明 $A$ 中任意元素都是 $J$ 中的元素。所以 $J=A$。

综上所述，不存在比 $K$ 更大的真理想，所以 $K$ 是极大理想。

I.3 从 $\mathbb{Z}$ 到 $\mathbb{Z}$ 不存在非平凡同态。[平凡同态是 $f(x)=0$ 和 $f(x)=x$。]

证明 考虑任意同态 $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ 和任意非零元素 $x\in \mathbb{Z}$。

• 当 $x>0$ 时， $$f(x)=f\underset{x}{\underbrace{(1+\cdots +1)}}=\underset{x}{\underbrace{f(1)+\cdots +f(1)}}=xf(1)$$
• 当 $x<0$ 时，有 $-x>0$ 且 $f(x)=-f(-x)$。因此，同样有 $f(x)=xf(1)$。
• 当 $x=0$ 时，根据同态性质可知 $f(0)=0$。所以 $f(x)=xf(1)$ 也成立。

总之，不论 $x$ 的取值，总有 $f(x)=xf(1)$。

因为 $\mathbb{Z}$ 是整环，根据 F.5 知或者 $f(1)=0$ 或者 $f(1)=1$。 这说明 $\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ 的同态只有平凡同态 $f(x)=0$ 和 $f(x)=x$。