抽象代数习题(16) – 同态基本定理
《抽象代数》第十六章是群论部分的最后一章。这一章讲了同态基本定理 (fundamental homomorphism theorem, FHT)。它把商群和同态两个概念联系起来：由任意正规子群 H 可以构造商群 G/H，从而构造从 G 到 G/H、以 H 为核的同态；反之亦然。
本章习题部分放进了许多补充内容，包括群论中的一些著名定理，如 Cauchy 定理、Sylow 定理等。这部分内容我没有看完，所以先只选做其中较简单的一部分习题。
- 2022-03-12：补充了 Cauchy 定理和 Sylow 定理的证明。
B. FHT 应用于 \(\mathscr F(\mathbb R)\) 的例子
设 \(\alpha: \mathscr F(\mathbb R) \to \mathbb R\) 定义为 \(\alpha(f) = f(1)\)，\(\beta: \mathscr F(\mathbb R) \to \mathbb R\) 定义为 \(\beta(f) = f(2)\)。
B.1 证明 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是 \(\mathscr F(\mathbb R)\) 到 \(\mathbb R\) 的满同态。
说明 \(\mathscr F(\mathbb R)\) 是所有 \(\mathbb R\to \mathbb R\) 函数的集合。群运算为函数加法：\((f+g)(x) = f(x) + g(x)\)。
证明 只证明 \(\alpha\) 是满同态，\(\beta\) 的情况类似。
设 \(f,g\in\mathscr F(\mathbb R)\)，则 \[\alpha(f+g) = (f+g)(1) = f(1) + g(1) = \alpha(f) + \alpha(g)\] 这说明 \(\alpha\) 是同态。
对任意 \(c\in \mathbb R\)，存在常数函数 \(f(x) = c\) 使得 \(\alpha(f) = c\)。因此 \(\alpha\) 是到 \(\mathbb R\) 的满射。
B.2 设 \(J\) 是所有 \(\mathbb R\to \mathbb R\) 的图象通过点 \((1,0)\) 的所有函数的集合；设 \(K\) 是所有 \(\mathbb R\to \mathbb R\) 的图象通过点 \((2,0)\) 的所有函数的集合。使用 FHT 证明 \(\mathbb R \cong \mathscr F(\mathbb R)/J\) 以及 \(\mathbb R\cong \mathscr F(\mathbb R)/K\)。
证明 只证明关于 \(J\) 的命题；关于 \(K\) 的命题同理。
依题意 \(J = \{f\in \mathscr F(\mathbb R) : f(1) = 0\}\)。这表明 \(J\) 是 \(\alpha\) 的核。又因为 \(\alpha\) 是 \(\mathscr F(\mathbb R)\to \mathbb R\) 的满同态，根据 FHT 可知 \(\mathbb R \cong \mathscr F(\mathbb R) / J\)。
注 由此可知 \(\mathscr F(\mathbb R)/J \cong \mathscr F(\mathbb R)/K\) （下一问的回答）。
C. FHT 应用于 Abel 群的例子
设 \(G\) 为 Abel 群。设 \(H=\{x^2 : x\in G\}\), \(K=\{x\in G : x^2=e\}\)。
C.1 证明 \(f(x) = x^2\) 是 \(G\) 到 \(H\) 的满同态。
证明 显然 \(f\) 是 \(G\to H\) 的映射。
设 \(x,y\in G\) 则 \(f(xy) = (xy)^2 = (x^2)(y^2) = f(x)f(y)\)。这表明 \(f\) 是同态。
对任意 \(h\in H\)，由定义可知存在 \(x\in G\) 使得 \(h = x^2\)，于是 \(f(x) = h\)。这表明 \(f\) 是满射。
C.2 求 \(f\) 的核。
解 列方程 \(f(x) = e\)，即 \(x^2 = e\)。可知方程的解集为 \(K\)。所以 \(K\) 是 \(f\) 的核。
C.3 根据 FHT 说明 \(H\cong G/K\)。
答 根据前两问的结论和 FHT 直接得出结论。
D. 群 G 的内自同构群
设 \(G\) 是群。\(G\) 的 自同构 (automorphism) 指的是同构 \(f: G\to G\)。
D.1 符号 \(\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}\Aut(G)\) 表示 \(G\) 的所有自同构的集合。通过证明 \(\Aut(G)\) 是 \(S_G\) 的子群来证明集合 \(\Aut(G)\) 与复合运算 \(\circ\) 构成一个群。
证明 见第九章习题I.4。
D.2 \(G\) 的内自同构 (inner automorphism) 指的是任意如下形式的函数 \(\phi_a(x)\)： \[\forall x\in G\quad \phi_a(x) = axa^{-1}\] 证明 \(G\) 的每个内自同构都是 \(G\) 的自同构。
证明 显然 \(\phi_a\) 是 \(G\to G\) 的映射，并且由于存在反函数 \(\phi_a^{-1}(x) = a^{-1}xa\)，因此是双射。
设 \(x,y\in G\)，则 \[\phi_a(xy) = a(xy)a^{-1} = (axa^{-1})(aya^{-1}) = \phi_a(x)\phi_a(y)\] 因此 \(\phi_a\) 保持群结构，所以是同构。
\(\phi_a\) 是 \(G\to G\) 的同构，根据定义它是 \(G\) 的自同构。
D.3 证明：对任意 \(a,b\in G\)，有 \[\phi_a \circ \phi_b = \phi_{ab}\quad\text{以及}\quad (\phi_a)^{-1} = \phi_{a^{-1}}\]
证明 考虑任意 \(x\in G\)， \[(\phi_a\circ\phi_b)(x) = \phi_a(\phi_b(x)) = a(bxb^{-1})a^{-1} = abx(ab)^{-1} = \phi_{ab}(x)\] 这说明 \(\phi_a\circ\phi_b = \phi_{ab}\)。 \[(\phi_a)^{-1}(x) = a^{-1}xa = \phi_{a^{-1}}(x)\] 这说明 \((\phi_a)^{-1} = \phi_{a^{-1}}\)。
D.4 设 \(I(G)\) 是 \(G\) 的所有内自同构的集合。也就是说，\(G=\{\phi_a : a\in G\}\)。利用 D.3 的结论证明 \(I(G)\) 是 \(\Aut(G)\) 的子群。
证明 由 D.2 知 \(I(G)\subseteq \Aut(G)\)。由 D.3 知 \(I(G)\) 中的元素对复合运算和取逆运算均封闭。所以 \(I(G) \le \Aut(G)\)。
D.5 \(G\) 的中心 (center) 指的是 G 中和所有元素都满足交换律的元素的集合，即 \[C = \{a\in G: ax=xa\;\forall x\in G\}\] 证明 \(a\in C\) 当且仅当 \(axa^{-1} = x\) 对任意 \(x\in G\) 都成立。
证明 \(a\in C \iff \forall x\in G\;(ax = xa) \iff \forall x\in G\;(axa^{-1} = x)\)。
D.6 设 \(h: G\to I(G)\) 定义为 \(h(a) = \phi_a\)。证明 \(h\) 是从 \(G\) 到 \(I(G)\) 的满同态并且其核为 \(C\)。
证明 设 \(a,b\in G\)，则 \(h(ab) = \phi_{ab} = \phi_a \circ \phi_b = h(a)\circ h(b)\)。这说明 \(h\) 是同态。
对于任意 \(I(G)\) 的元素 \(\phi_a\)，显然 \(h(a) = \phi_a\)。这表明 \(h\) 是满射。
设 \(a\in G\) 并令 \(h(a) = \phi_e\)。得 \(\phi_a = \phi_e\)，即 \[axa^{-1} = x\quad\forall x\in G\] 由 D.5 可知上述关于 \(a\) 的方程的解集是 \(C\)。所以 \(\DeclareMathOperator{\ker}{ker}\ker h = C\)。
D.7 根据 FHT 说明 \(I(G)\) 与 \(G/C\) 同构。
答 根据前一问的结论和 FHT 直接得到结论。
E. FHT 应用于群的直积
设 \(G\) 和 \(H\) 是群。设 \(J\triangleleft G\), \(K\triangleleft H\)。
E.1 证明函数 \(f(x,y) = (Jx, Ky)\) 是 \(G\times H\to (G/J)\times(H/K)\) 的同态。
证明 首先明确 \(G/J\) 中的运算为陪集的乘法：\(Jx\cdot Jy = J(xy)\)；\(H/K\) 中同理。根据商群的定义可知 \(Jx\in (G/J)\), \(Ky\in (H/K)\) 因此 \(f\) 是 \(G\times H\to (G/J)\times(H/K)\) 的映射。
设 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\in G\times H\)，则 \begin{align*} f((x_1,y_1)(x_2,y_2)) &= f(x_1x_2,y_1y_2) \\ &=(J(x_1x_2),K(y_1y_2)) \\ &=((Jx_1\cdot Jx_2),(Ky_1\cdot Ky_2)) \\ &=(Jx_1,Ky_1)\cdot(Jx_2,Ky_2) \\ &=f(x_1,y_1)\cdot f(x_2,y_2) \end{align*} 这说明 \(f\) 是同态。
E.2 求 \(f\) 的核。
解 值域中的单位元为 \((J,K)\)。列方程 \(f(x,y) = (J,K)\) 得方程组 \begin{gather*} Jx = J\\ Ky = K\\ \end{gather*} 由此可知解集为 \(\{(x,y) : x\in J, y\in K\}\)，即 \(J\times K\)。这就是 \(f\) 的核。
E.3 根据 FHT 说明 \((G\times H) / (J\times K) \cong (G/J) \times (H/K)\)。
答 由前两问的结论和 FHT 直接得到结论。
F. 第一同构定理
设 \(G\) 是群，\(H\triangleleft G\), \(K\le G\)。证明下列命题：
F.1 \((H\cap K) \triangleleft K\)
证明 不难证明 \(H\cap K\) 是 \(K\) 的子群。下面证明 \(H\cap K\) 是正规子群。
设 \(a\in(H\cap K)\)，则 \(a\in H\) 且 \(a\in K\)。对任意 \(x\in K\le G\)，根据群的封闭性知 \(xax^{-1} \in K\)。又因为 \(H\triangleleft G\)，所以 \(xax^{-1} \in H\)。因此 \((H\cap K) \triangleleft K\)。
F.2 如果 \(HK = \{xy : x\in H \wedge y\in K\}\)，那么 \(HK\le G\)。
证明 显然 \(e\in HK\)。
设 \(a,b\in HK\)，那么存在 \(x_1,x_2\in H\) 和 \(y_1y_2\in K\) 使得 \(a=x_1y_1\), \(b=x_2y_2\)。那么 \(ab = x_1y_1x_2y_2\)。 因为 \(H\) 是正规子群，有 \(x_2’ = y_1x_2y_1^{-1} \in H\)。于是 \(ab = x_1x_2’y_1y_2\)。而 \(x_1x_2’ \in H\), \(y_1y_2\in K\)，所以 \(ab\in HK\)。
设 \(a\in HK\)，那么存在 \(x\in H\), \(y\in K\) 使得 \(a=xy\)。那么 \(a^{-1} = (xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}\)。因为 \(H\) 是正规子群，有 \(x’ = y^{-1}x^{-1}(y^{-1})^{-1} \in H\)。于是 \(a^{-1} = x’y^{-1}\)。而 \(x’\in H\), \(y^{-1}\in K\)，所以 \(a^{-1}\in HK\)。
综上所述，\(HK\le G\)。
F.3 \(H\triangleleft HK\)
证明 显然 \(H\subseteq HK\)，又已知 \(H\) 是群，所以 \(H\le HK\)。另一方面，对于任意 \(a\in H\) 和 \(x\in HK\subseteq G\)，都有 \(xax^{-1} \in H\)。这表明 \(H\) 是正规子群。
F.4 商群 \(HK/H\) 中的每个元素都可以写成 \(Hk\) 的形式，其中 \(k\in K\)。
证明 考虑 \(HK/H\) 中的元素 \(Ha\)，其中 \(a=hk\), \(h\in H\), \(k\in K\)。因为 \(ak^{-1} = h\in H\)，根据第十五章定理 5，有 \(Ha = Hk\)。
F.5 函数 \(f(k) = Hk\) 是从 \(K\) 到 \(HK/H\) 的满同态，并且它的核为 \(H\cap K\)。
证明 显然 \(K\subseteq HK\)。设 \(x\in K\subseteq HK\)，则 \(Hk\in (HK/H)\)。所以 \(f\) 是 \(K\to (HK/H)\) 的映射。
考虑任意 \(Ha\in (HK/H)\)，由前一问结论知存在 \(k\in K\) 使得 \(Ha = Hk\)，于是 \(f(k) = Ha\)。这表明 \(f\) 是满射。
设 \(x,y \in K\)，则 \(f(xy) = H(xy) = Hx\cdot Hy = f(x)\cdot f(y)\)。这表明 \(f\) 是同态。
为了求 \(f\) 的核，设 \(k\in K\) 并令 \(f(k) = H\)，即 \(Hk = H\)。根据第十五章定理 5，当且仅当 \(k\in H\) 时该等式成立。又 \(k\in K\)，所以解集是 \(H\cap K\)。
综上所述，\(f\) 是 \(K\to (HK/H)\) 的满同态，且核为 \(H\cap K\)。
F.6 根据 FHT 说明 \(K/(H\cap K) \cong HK/H\)。（这被称作第一同构定理。）
答 根据前一问结论和 FHT 直接得出结论。
G. 更强的 Cayley 定理
设 \(H\) 是 \(G\) 的子群。设 \(X\) 表示 G 中所有 H 的左陪集。对于任意 \(a\in G\)，定义 \(\rho_a:X\to X\) 为：\[\rho_a(xH) = (ax)H\]
G.1 证明每个 \(\rho_a\) 是 \(X\) 的一个置换。
引理 \(aH = bH \iff a^{-1}b \in H\)
类似于第十五章定理 5，只不过这里是左陪集，逆元的位置也不一样。证明略。
证明 只须证明 \(\rho_a\) 是双射即可。
（单射）设 \(x,y\in G\) 且 \((ax)H = (ay)H\)。根据引理得 \((ax)^{-1}(ay) \in H\)，即 \(x^{-1}y \in H\)。于是根据引理得 \(xH = yH\)。这说明 \((ax)H = (ay)H \Rightarrow xH=yH\)。因此 \(\rho_a\) 是单射。
（满射）考虑 \(X\) 中任意元素 \(xH\)，其中 \(x\in G\)。令 \(y = a^{-1}x \in G\)，则 \(f(yH) = (ay)H = xH\)。因此 \(\rho_a\) 是满射。
G.2 证明 \(h: G\to S_X\) 定义为 \(h(a) = \rho_a\) 是同态。
证明 考虑 \(X\) 中的任意元素 \(xH\)，其中 \(x\in G\)。则 \[ (\rho_a \circ \rho_b)(xH) = \rho_a(\rho_b(xH)) = (a(bx))H = ((ab)x)H = \rho_{ab}(xH) \] 恒成立。所以 \(\rho_a \circ \rho_b = \rho_{ab}\)。
这意味着 \(h(ab) = h(a)h(b)\)，因此 \(h\) 是同态。
G.3 证明集合 \(\{a\in H : xax^{-1} \in H\;\forall x\in G\}\) （即 \(H\) 中所有共轭都在 \(H\) 内的元素构成的集合），是 \(h\) 的核。
证明 值域中的单位元是恒等变换 \(\epsilon = \rho_e\)，其中 \(e\) 是 \(G\) 的单位元。设 \(a\in G\)，令 \(h(a) = \epsilon\)，得方程 \(\rho_a = \rho_e\)。该方程成立的条件是 \((ax)H = xH\) 对所有 \(x\in G\) 成立。
根据 G.1 的引理可知等式成立的充分必要条件是 \((ax)^{-1}x = x^{-1}ax \in H\)。因此解集是 \(\{a\in H : xax^{-1} \in H\;\forall x\in G\}\)，这也就是 \(h\) 的核。
G.4 证明如果 \(H\) 不包含 \(G\) 的除 \(\{e\}\) 外的正规子群，则 \(G\) 和 \(S_X\) 的某个子群同构。
证明 前一问证明了 \[\ker h = \{a\in H : xax^{-1} \in H\;\forall x\in G\}\] 注意到核总是正规子群，所以如果 \(H\) 不包含任何除 \(\{e\}\) 外的任何正规子群，则只能是 \(\ker h = \{e\}\)。
根据 FHT，有 \(G/\{e\} \cong \mathop{\rm ran} h \subseteq S_X\)。
另一方面，\(G/\{e\} = \{\{x\} : x\in G\}\) 显然和 \(G\) 同构：\(x \leftrightarrow \{x\}\)。
综上所述，\(G\) 同构于 \(S_X\) 的某个子集。
H. 同构于圆群的商群
H.1 对任意 \(x\in\mathbb R\)，约定 \(\DeclareMathOperator{\cis}{cis}\cis x = \cos x + i\sin x\)。证明 \(\cis (x+y) = (\cis x)(\cis y)\)。
证明 使用欧拉公式或者使用复数的运算法则结合三角恒等式（略）。
H.2 设 \(\mathbb T\) 表示集合 \(\{\cis x: x\in R\}\)（即所有位于单位元上的复数）和复数乘法构成的群。证明 \(\mathbb T\) 是群。（称为圆群）。
证明
- 单位元是 \(\cis 0 = 1\)。
- \(\cis x\) 的逆元是 \(\cis (-x)\)。
- 结合律：\begin{align*}(\cis x \cis y) \cis z &= \cis (x+y) \cis z \\ &= \cis(x+y+z) \\ &= \cis x \cis (y+z) \\ &= \cis x (\cis y \cis z)\end{align*}
H.3 证明 \(f(x) = \cis x\) 是 \(\mathbb R \to \mathbb T\) 的满同态。
证明 显然 \(f\) 是 \(\mathbb R \to \mathbb T\) 的满射。
设 \(x,y\in R\)，则由 H.1 知 \(\cis(x+y) = (\cis x)(\cis y)\)。所以 \(f\) 是满同态。
H.4 证明 \(\ker f = \{2n\pi : n\in\mathbb Z\} = \langle 2\pi \rangle\)。
证明 设 \(x\in \mathbb R\)，令 \(f(x) = 1\) 得 \[\cos x + i\sin x = 1 + 0i\] 根据复数相等的规则，方程等价于方程组 \begin{gather*} \cos x = 1 \\ \sin x = 0 \end{gather*} 根据三角函数知识，可知解集为 \(\{2n\pi : n\in \mathbb Z\}\)，这也就是 \(f\) 的核。
H.5 根据 FHT 说明 \(\mathbb T \cong \mathbb R / \langle 2\pi \rangle\)。
答 根据 H.3、H.4 的结论和 FHT 立即得到结论。
H.6 证明 \(f(x) = \cis 2\pi x\) 是 \(\mathbb R \to \mathbb T\) 的满同态，且核为 \(\mathbb Z\)。
证明 参考 H.3、H.4 证明。
H.7 说明 \(\mathbb T \cong \mathbb R / \mathbb Z\)。
答 根据 H.6 和 FHT 立即得到结论。
I. 第二同构定理
设 \(H\) 和 \(K\) 是群 \(G\) 的正规子群，并且 \(H\subseteq K\)。 定义 \(\phi: G/H \to G/K\) 为 \(\phi(Ha) = Ka\)。
证明 1–4。
I.1 \(\phi\) 是良定义的函数。[即如果 \(Ha = Hb\)，则 \(\phi(Ha)=\phi(Hb)\)。]
证明 设 \(Ha=Hb\)，则 \(ab^{-1} \in H \subseteq K\)。于是 \(Ka = Kb\) 即 \(\phi(Ha) = \phi(Hb)\)。
I.2 \(\phi\) 是同态。
证明 考虑 \(G/H\) 中的任意元素 \(Hx,Hy\)，其中 \(x,y\in G\)。 \[\phi(Hx\cdot Hy) = \phi(H(xy)) = K(xy) = Kx \cdot Ky = \phi(x)\cdot\phi(y)\] 所以 \(\phi\) 是同态。
I.3 \(\phi\) 是满射。
证明 考虑 \(G/K\) 中的任意元素 \(Ka\)，其中 \(a\in G\)。因为有 \(Ha \in G/H\) 且 \(\phi(Ha) = Ka\)，所以 \(\phi\) 是满射。
I.4 \(\ker \phi = K/H\)
证明 值域中的单位元是 \(K\)。设 \(Hx \in G/H\)，其中 \(x\in G\)，列方程 \(\phi(Hx) = K\)，即 \(Kx = K\)。等式成立的充要条件是 \(x \in K\)，所以方程（关于未知数 \(Hx\)）的解集是 \(\{Hx : x \in K\}\)，这也就是 \(\phi\) 的核。 另一方面，根据商群的定义有 \(K/H = \{Hx : x\in K\}\)。所以 \(\ker \phi = K/H\)。
I.5 （使用 FHT）说明 \((G/H) / (K/H) \cong G/K\)。
答 根据 I.2–I.4 和 FHT 立即得到结论。
J. 对应定理 (Correspondence Theorem)
设 \(f\) 为 \(G\) 到 \(H\) 上的满同态，且核为 \(K\)： \[f:G \xrightarrow[\mkern-8mu ^K\mkern40mu]{}\mkern-12mu\to H\] 如果 \(S\) 是 \(H\) 的子群，设 \(S^* = \{x\in G : f(x) \in S\}\)。求证：
J.1 \(S^*\) 是 \(G\) 的子群。
证明 显然 \(e \in S^* \subseteq G\)。
设 \(x,y\in S^*\)，则有 \(f(x),f(y)\in S\)。因为 \(f\) 是同态而且 \(S\) 是群，所以 \(f(xy) = f(x)f(y) \in S\)。于是 \(xy\in S^*\)。
设 \(x\in S^*\)。则 \(f(x^{-1}) = [f(x)]^{-1} \in S\)，所以 \(x^{-1}\in S^*\)。
综上所述， \(S^*\) 是 \(G\) 的非空子集，且对乘法和逆元均封闭，所以是 \(G\) 的子群。
J.2 \(K\subseteq S^*\)
证明 \(x\in K \Longrightarrow f(x) = e \in S \Longrightarrow x\in S^*\)
J.3 设 \(g\) 是 \(f\) 把定义域限定在 \(S^*\) 上的函数，则 \(g\) 是 \(S^*\) 到 \(S\) 的满同态，并且 \(K = \ker g\)。
证明 根据定义易知 \(g\) 是满射。根据 \(f\) 的同态性质可知 \(g\) 是同态。
设 \(x\in S^*\)，列方程 \(g(x) = e\)。注意到 \(f(x) = e\) 的解集为 \(K\)，又由前一问知 \(K\subseteq S^*\)，所以 \(\ker g = K\)。
J.4 \(S \cong S^* / K\)。
证明 根据 J.3 的结论和 FHT 立即得到。
K. Cauchy 定理
如果 \(G\) 是群，\(p\) 是 \(|G|\) 的质因子，可以证明 \(G\) 至少有一个 \(p\) 阶元素。对于 Abel 群的情况，证明已由第十五章习题 H.4 给出。因此，这里假定 \(G\) 不是 Abel 群。证明采用数学归纳法；设 \(|G|=k\)，并假定结论对任意阶小于 \(k\) 的群都成立。设 \(C\) 为 \(G\) 的中心，\(C_a\) 为 \(a\in G\) 的中心化子，并且 \(k=|C|+\sum_{i\in I}|S_i|\) 为 \(G\) 的类方程（参见第十五章习题 G.2）。
K.1 证明：如果 \(p\) 是 \(|C_a|\) 的因子，其中 \(a\notin C\)，那么就证完了。（解释原因。）
说明 证明的思路在于找到 \(G\) 的一个子群，其阶也是 \(p\) 的倍数。如果这个子群是 Abel 群，那么根据第十五章习题 H 可知其中存在阶为 \(p\) 的元素；否则，就可以再次寻找更小的子群。但这个过程不可能无限地重复下去，最小的情况就是阶恰好等于 \(p\)。这时群中的非单位元的阶就是 \(p\)。在这一小问中，\(C_a\) 就是要找的子群。
证明 首先，\(C_a\subsetneq G\)。这是因为如果取等号，说明 \(a\) 和所有元素交换，和 \(a\notin C\) 矛盾。于是 \(|C_a| < |G| = k\)。这一小问的前提条件是 \(p\mid |C_a|\)，因此根据归纳假设可知 \(C_a\) 中存在阶等于 \(p\) 的元素。
K.2 证明：对于任意 \(a\notin C\)，如果 \(p \nmid |C_a|\)，那么 \(p\mid (G : C_a)\)。
证明 因为 \[p \mid |G| = (G:C_a) |C_a|\] 当 \(p\nmid |C_a|\) 时，根据欧几里得引理可知 \(p\mid (G:C_a)\)。
K.3 从类方程中解出 \(|C|\)，并说明为什么 \(p\mid |C|\)。现在证完了。（解释原因。）
证明 这里只讨论 K.1 不成立的情况，即对任意 \(a\notin C\) 都有 \(p\nmid |C_a|\)。这时，\(C\) 就是要找的子群，理由如下：
对于任意共轭类 \(S_i\)，它的大小都等于某个元素的中心化子 \(C_{x_i}\) 的大小（第十三章习题 I.6）。 根据 K.2 得 \(p\mid (G:C_{x_i})\)。这意味着所有 \(a\notin C\) 的共轭类 \(S_i\) 的大小都是 \(p\) 的倍数。
由类方程解得 \[|C|=k-\sum_{i\in I}|S_i|\] 可见，右边每一项都是 \(p\) 的倍数，因此 \(|C|\) 是 \(p\) 的倍数。
因为 \(C\subsetneq G\)（如果取等号，则 \(G\) 中所有元素都可交换，和 \(G\) 不是 Abel 群矛盾），所以 \(|C| < |G| = k\)。根据归纳假设，\(C\) 中含有阶等于 \(p\) 的元素。
L. p-群的子群（Sylow 定理的铺垫）
设 \(p\) 为质数。\(p\)-群指所有元素的阶都是 \(p\) 的幂的群。设 \(G\) 为 \(p\)-群，由 Cauchy 定理可知 \(|G|=p^k\)，其中 \(k\) 是某个自然数。这时，可以证明，对于任意 \(1 \le m\le k\)，都存在一个 \(G\) 正规子群，其阶等于 \(p^m\)。证明采用数学归纳法；假定该命题对于所有小于 \(G\) 的 \(p\)-群都成立。
证明 1 和 2。
L.1 \(G\) 的中心有一个元素 \(a\) 满足 \(\DeclareMathOperator\ord{\rm ord}\ord(a)=p\)。
证明 设 \(G\) 的中心为 \(C\)。根据第十五章习题 G 可知 \(p\mid |C|\)。根据 Cauchy 定理可知 \(C\) 中有一个阶等于 \(p\) 的元素，记它为 \(a\)。
L.2 \(\langle a\rangle\) 是 \(G\) 的正规子群。
证明 取任意 \(a^k \in \langle a\rangle\) 和 \(x\in G\)。因为 \(a\in C\)，所以 \(ax=xa\)。于是 \[xa^kx^{-1} = a^k xx^{-1} = a^k \in \langle a\rangle\] 这表明 \(\langle a\rangle\) 对共轭封闭，因此是 \(G\) 的正规子群。
L.3 说明为什么 \(G/\langle a\rangle\) 存在阶为 \(p^{m-1}\) 的正规子群。
证明 显然平凡群 \(\{e\}\) 是阶为 \(1\) 的正规子群，这解决了 \(m=1\) 的情况。
因为 \(|G/\langle a \rangle| = p^k / p = p^{k-1} < p^k\)，所以根据归纳假设，它有阶为 \[p,p^2,\ldots,p^{k-1}\] 的正规子群。这解决了 \(1 < m\le k\) 的情况。
L.4 用 J.4 证明 \(G\) 有阶为 \(p^m\) 的正规子群。
证明 设 \(K=\langle a\rangle\) 以及 \(H=G/K\)。那么存在满同态 \(f: G\to H\)，其核为 \(K\)。
设 \(S\) 是 \(H\) 的 \(p^{m-1}\) 阶正规子群（L.3 证明了存在性），那么 \[S^\ast = \{x\in G : f(x)\in S\}\] 是 \(G\) 的子群（J.1）。由 J.4 得 \(S\cong S^\ast/K\)，于是 \[|S^\ast| = |S||K| = p^{m-1}p = p^m\]
由此可知 \(S^\ast\) 是 \(G\) 的 \(p^m\) 阶子群。只须证明它是正规子群即可。设 \(x\in G\), \(y\in S^\ast\)，则 \(f(x) \in H\) 且 \(f(y)\in S\)。由 \(S\) 是正规子群可知 \[f(xyx^{-1}) = f(x)f(y)f(x)^{-1} \in S\] 因此 \(xyx^{-1} \in S^\ast\)。
M. p-Sylow 子群
设 \(p\) 为质数。如果 \(H\) 是有限群 \(G\) 的子群，且 \(H\) 是 \(p\)-群，则称 \(H\) 是 \(G\) 的 \(p\)-子群。进一步，如果 \(K\) 是 \(G\) 的 \(p\)-子群且 \(K\) 是极大的（指 \(K\) 不被包含在更大的 \(G\) 的 \(p\)-子群中），那么 \(K\) 称为 \(G\) 的 \(p\)-Sylow 子群。
M.2 证明：\(G\) 的每个 \(p\)-Sylow 子群的共轭都是 \(p\)-Sylow 子群。
证明 设 \(H\) 是 \(G\) 的 \(p\)-Sylow 子群。一般地，设共轭 \[H^\ast = \{axa^{-1} : x\in H\}\qquad (a\in G)\] 不难证明：
- \(H^\ast\) 是 \(G\) 的子群。
- \(f(x)=axa^{-1}\) 是 \(H\to H^\ast\) 的双射。因此 \(|H^\ast| = |H|\)，所以 \(H^\ast\) 是 \(p\)-群。
- \(H^\ast\) 是极大的（否则，\(f^{-1}(H^\ast) = H\) 也不是极大的）。
由以上几点可知 \(H^\ast\) 也是 \(G\) 的 \(p\)-Sylow 子群。
设 \(K\) 是 \(G\) 的 \(p\)-Sylow 子群，且 \(N=N(K)\) 是 \(K\) 的正规化子。
M.3 设 \(a\in N\)，假定 \(Ka\) 在 \(N/K\) 中的阶是 \(p\) 的幂，设 \(S=\langle Ka\rangle\)。 证明：\(N\) 有子群 \(S^\ast\) 满足 \(S^\ast/K\) 是 \(p\)-群。
证明 同态 \(h(x) = Kx\) 是 \(N\to N/K\) 的满同态，且核为 \(K\)。根据 J.4 可知 \[S^\ast = \{x\in N: h(x) \in S\}\] 满足 \(S \cong S^\ast / K\)。因为 \(|S| = \ord(Ka)\) 是 \(p\) 的幂，所以 \(S^\ast/K\) 是 \(p\)-群。
注 这里引入 \(N\) 的目的是使得商群 \(N/K\) 可以作出。\(K\) 本身不一定是 \(G\) 的正规子群。
M.4 证明 \(S^\ast\) 是 \(G\) 的 \(p\)-子群。然后说明为什么 \(S^\ast = K\)，以及为什么可以得到 \(Ka=K\)。
证明 根据 J.1 可知 \(S^\ast\) 是 \(N\) 的子群。这里 \(N\subseteq G\)，因此 \(S^\ast\) 也是 \(G\) 的子群。设 \(|S|=p^m\) 且 \(|K|=p^n\)，那么 \[|S^\ast| = |S||K| = p^{m+n}\] 可见 \(S^\ast\) 是 \(p\)-群。因此它是 \(G\) 的 \(p\)-子群。
根据 J.2 可知 \(K\subseteq S^\ast\)。但根据 \(p\)-Sylow 子群的定义，\(K\) 是极大的。因此只可能是 \(K=S^\ast\)。于是 \(|S| = 1\)，这表明 \(\ord(Ka)=1\)，因此 \(Ka\) 只可能等于 \(N/K\) 中的单位元 \(K\)。
M.5 用 M.3 和 M.4 证明：\(N/K\) 中（除单位元外）没有元素的阶是 \(p\) 的幂。
证明 M.3 和 M.4 证明了“如果 \(Ka\) 的阶是 \(p\) 的幂，那么 \(Ka\) 是单位元”，和要证的命题是等价的。
M.6 如果 \(a\in N\) 且阶为 \(p\) 的幂，那么 \(Ka\)（在 \(N/K\) 中）的阶也是 \(p\) 的幂（为什么？）于是，\(Ka=K\)。（为什么？）
证明 设 \(\ord(a) = n = p^k\)，那么 \((Ka)^n = K(a^n) = K\)。这表明 \(Ka\) 的阶是 \(n=p^k\) 的约数，因此一定是 \(p\) 的幂。
根据 M.5 可知这种情况下一定有 \(Ka=K\)。
M.7 用 M.6 证明：如果 \(aKa^{-1} = K\) 且 \(a\) 的阶是 \(p\) 的幂，那么 \(a\in K\)。
证明 根据正规化子的定理，由 \(aKa^{-1} = K\) 可得 \(a\in N\)。于是根据 M.6 可知 \(Ka=K\)。因此 \(a\in K\)。
N. Sylow 定理
设 \(G\) 为有限群，且 \(K\) 为 \(G\) 的 \(p\)-Sylow 子群。设 \(X\) 为 \(K\) 的所有共轭构成的集合。（参见习题 M.2。）如果 \(C_1,C_2\in X\)，记 \(C_1\sim C_2\) 当且仅当 \(C_1=aC_2a^{-1}\) 对某个 \(a\in K\) 成立。
N.1 证明 \(\sim\) 是 \(X\) 上的等价关系。
证明 略。（这和第十三章 I.1 的证明过程是一样的。）
因此，\(\sim\) 将 \(X\) 划分为等价类。如果 \(C\in X\)，记它的等价类为 \([C]\)。
N.2 对任意 \(C\in X\)，证明 \([C]\) 中元素个数是 \(|K|\) 的因子。作出结论：对于任意 \(C\in X\)，\([C]\) 中元素个数是 \(p\) 的幂。
证明 证明见第十四章习题 I.10。\(|K|\) 的因子是 \(p\) 的幂是显然的。
N.3 用 M.7 证明只含有一个元素的等价类一定是 \([K]\)。
证明 设等价类 \([C]\) 只含有一个元素。这意味着对于任意 \(a\in K\) 都有 \[aCa^{-1}=C\] 这里 \(C\) 是 \(p\)-Sylow 子群。因为 \(a\in K\)，所以 \(a\) 的阶是 \(p\) 的幂。因此，根据 M.7 可知 \(a\in C\)。
以上论证表明 \(a\in K\Rightarrow a\in C\)，因此 \(K\subseteq C\)。但 \(K\) 是极大的，所以只可能是 \(K=C\)。这就表明只含有一个元素的等价类只可能是 \([K]\)。事实上，\([K]\) 确实只有一个元素，因为 \[aKa^{-1} = K\] 对任意 \(a\in K\) 都成立。
N.4 用 N.2 和 N.3 证明 \(X\) 中的元素个数为 \(kp+1\)，其中 \(k\) 是某个整数。
证明 根据 N.2 可知 \(X\) 中每个等价类的元素个数都是 \(p\) 的幂。那么，除了 \([K]\) 只有一个元素（由 N.3 证明了）外，别的等价类的元素个数都是 \(p\) 的倍数。因此 \(X\) 中的元素个数就是所有等价类元素个数之和，即 \(kp+1\)，其中 \(k\) 是整数。
N.5 用 N.4 证明 \((G:N)\) 不是 \(p\) 的倍数。
说明 这里 \(N\) 指 \(K\) 的正规化子：\(N=\{a \in G: aKa^{-1} = K\}\)。
证明 根据第十四章 I.9 可知，\(K\) 的全部共轭共有 \((G:N)\) 个。因此 \[(G:N)=|X|=kp+1\] 由此可知 \((G:N)\) 不是 \(p\) 的倍数。
N.6 证明 \((N:K)\) 不是 \(p\) 的倍数。
证明 假设 \(p\mid (N:K) = |N/K|\)。根据 Cauchy 定理，存在 \(Ka\in N/K\)，其中 \(a\in N\)，满足 \(\ord(Ka)=p\)。但这与 M.5 矛盾。因此假设不成立，所以 \(p\nmid (N:K)\)。
N.7 用 N.5 和 N.6 证明 \((G:K)\) 不是 \(p\) 的倍数。
证明 因为 \((G:K)=(G:N)(N:K)\)，而右边都不是 \(p\) 的倍数，所以左边也不是 \(p\) 的倍数（否则可以由欧几里得引理推出矛盾）。
N.8 做出结论：设 \(G\) 是有限群，其阶为 \(p^km\)，其中 \(p\nmid m\)。那么 \(G\) 的每个 \(p\)-Sylow 子群 \(K\) 的阶都是 \(p^k\)。
证明 由 N.7 知 \(p\nmid (G:K)\)。而 \[p^km = |G| = (G:K)|K|\] 因此根据唯一分解定理可知 \(|K|=p^k\)。
结合 N.8 和习题 L 得：
设 \(G\) 为有限群且 \(p\) 为质数。对任意满足 \(p^n \mid |G|\) 的整数 \(n\)，\(G\) 都存在阶为 \(p^n\) 的子群。
以上称为 Sylow 定理。
注 一个不太重要的细节：这里需要说明 \(p\)-Sylow 子群总是存在的。只须证明 \(p\)-子群总存在即可，因为其中总有一个是极大的（在 \(G\) 是有限群的前提条件下）。而根据 Cauchy 定理可以找到一个阶为 \(p\) 的子群，它就是一个 \(p\)-子群。