《抽象代数》第十四章讲了代数中的一个核心概念：同态 (homomorphism)，指的是一个映射 \(f: G \to H, f(xy) = f(x)f(y)\)，和同构的区别是这里不要求双射。

A. 有限群同态的例子

A.6 设 B ⊆ A。设 h: P_A → P_B 定义为 h(C) = C ∩ B。求证：h 是同态。

证明 设 a,b ∈ P_A，则 h(a+b) = (a+b) ∩ B = (a ∩ B) + (b ∩ B) = h(a)+h(b)

中间一步等号的证明可以使用 Venn 图。所以 h 是同态。

注 严谨的证明需要利用下述恒等式：

• (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
• (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ (B ∩ C)
• A + B = (A \ B) ∪ (B \ A)

B. 无限群同态的例子

B.6 设 \(G\) 是 \(2\times2\) 矩阵 \(\boldsymbol{A} = {a\;b\choose c\;d}\) （其中 \(ad - bc \ne 0\)）和矩阵乘法构成的群。设 \(f : G\to \mathbb R^*\) 定义为 \(f(\boldsymbol A) = \det \boldsymbol A = ad - bc\)。求证： \(f\) 是同态。

证明 根据线性代数知识 \(\det (\boldsymbol {AB}) = \det\boldsymbol A \det \boldsymbol B\)。可以直接做矩阵乘法证明。

设 \(x,y\in G\) 则有 \(f(xy) = f(x)f(y)\)，所以 \(f\) 是同态。

注 这里的群 \(G\) 就是一般线性群 \(\mathrm{GL}_2(\mathbb R)\)。

C. 同态的基本性质

C.2 求证：如果 f: G → H 是一个核为 K 的同态，那么 f 是单射当且仅当 K = {e}。

证明

必要性。证明其逆否命题即可。当 K ≠ {e} 时，存在 x ∈ K, x ≠ e。根据核的定义，f(x) = e。另一方面，根据同态的性质有 f(e) = e。而 x ≠ e，得知 f 不是单射。

充分性。当 K = {e} 时，假设存在 x,y ∈ G 使得 f(x) = f(y)，那么 f(xy^-1) = f(x)f(y^-1) = f(y)[f(y)]^-1 = e。满足条件的只有 xy^-1 = e，即 x=y。这说明 f 是单射。

C.8 求证：函数 \(f:G\to G\) 定义为 \(f(x) = x^2\)。它是同态当且仅当 \(G\) 是 Abel 群。

证明 设 \(x,y\in G\)，那么 \begin{align*} f \text{ 是同态}&\Longleftrightarrow f(xy) = f(x)f(y) \\ &\Longleftrightarrow xyxy = x^2y^2 \\ &\Longleftrightarrow yx = xy \\ &\Longleftrightarrow G \text{ 是 Abel 群} \end{align*}

D. 正规子群的基本性质

D.5 设 \(H\) 是 \(G\) 的子群。求证：\(H\) 是正规子群当且仅当 \(\forall a\in G,\,aH=Ha\)。

证明

必要性。设 \(x\in aH\)，则存在 \(h\in H\) 使得 \(x = ah\)。因为 \(H\) 是正规子群，所以 \(h’ = aha^{-1}\in H\)。从而有 \(x = h’a\)，这表明 \(x\in Ha\)。同理可证 \(x\in Ha \Rightarrow x\in aH\)。因此 \(aH=Ha\)。

充分性。设 \(x\in H\)，则 \(ax \in aH\)。又因为 \(aH = Ha\)，所以 \(ax \in Ha\)，即存在 \(h\in H\)，使得 \(ax = ha\)。这表明 \(axa^{-1} = h \in H\)。所以 \(H\) 是正规子群。

E. 正规子群的更多性质

E.1 求证：如果 \((G:H) = 2\)，则 \(H\) 是正规子群。

证明 \((G:H) = 2\) 意味着 \(H\) 的陪集将 \(G\) 划分为 2 个等价类。

考虑仅有的两个左陪集 \(aH\) 和 \(eH\)，这里 \(a\ne e\) 是唯一的。注意到 \(a^{-1}\notin H\)，否则 \(aH\) 和 \(eH\) 有共同元素 \(e\)。

考虑右陪集 \(Ha\)，由 \(a^{-1}\notin H\) 得 \(e \notin Ha\)，这表明 \(Ha \ne He\)。所以 \(Ha\) 和 \(He\) 是仅有的两个不同的右陪集。

由此可知 \(aH\) 和 \(Ha\) 都是 \(H = eH = He\) 的补集，所以 \(aH = Ha\)。又 \(eH = He\)，所以 \(xH = Hx\) 对任意 \(x\in G\) 都成立（陪集只能是 \(aH\) 或 \(eH\) 之一，均满足此性质）。根据D.5的结论可知 \(H\) 是正规子群。

E.6 设 \(H\) 是 \(G\) 的子群，所有满足 \(Ha = aH\) 的陪集 \(Ha\) 的并集记为 \(S\)。求证： \(S\) 是 \(G\) 的子群，且 \(H\) 是 \(S\) 的正规子群。

注 这里需要使用上一章习题中的两个结论：

• (E.3) 如果 \(aH=Ha\) 且 \(bH=Hb\)，则 \((ab)H=H(ab)\)。
• (E.4) 如果 \(aH=Ha\)，则 \(a^{-1}H=Ha^{-1}\)。

证明 显然 \(e\in H \subseteq S\)。

设 \(x,y\in S\)，则存在 \(a\in G\) 使得 \(x \in Ha\)，进一步存在 \(h\in H\) 使得 \(x = ah\)。 同理存在 \(b\in G,\,h’\in H\) 使得 \(y = bh’\)。

由此可知 \(xy = ahbh’\)。因为 \(hb \in Hb = bH\)，所以存在 \(h’’\in H\) 使得 \(hb = bh’’\)。 所以 \(xy = abh’'h’\)。因为 \(h’'h’ \in H\)，所以 \(xy \in (ab)H\)。

根据 (E.3) 可知 \(H(ab) = (ab)H\)。所以 \(xy \in (ab)H \subseteq S\)，即 \(S\) 对乘法封闭。

另一方面由 \(x = ha\) 得 \(x^{-1} = a^{-1}h^{-1}\)。因为 \(h^{-1}\in H\)，所以 \(x^{-1} \in a^{-1}H\)。由 (E.4) 可知 \(a^{-1}H = H^{a-1}\)，所以 \(x^{-1} \in a^{-1}H \subseteq S\)，即 \(S\) 对逆元封闭。

综上所述，\(S\) 是 \(G\) 的子群。下面证明第二个命题。

因为 \(H \subseteq S\)，所以 \(H\) 是 \(S\) 的子群。只须证明它是正规子群即可。

设 \(h\in H\), \(x\in S\)，则存在 \(a\in G,\,h’ \in H\) 使得 \(Ha=aH\) 且 \(x = h’a\)。注意到 \[ xhx^{-1} = h’aha^{-1}h’^{-1} \] 因为 \(ah\in aH = Ha\)，存在 \(h’’\in H\) 使得 \(ah = h’'a\)，因此 \[ xhx^{-1} = h'h’'aa^{-1}h’^{-1} = h'h’'h’^{-1} \in H \] 即对任意 \(h\in H\), \(x\in S\)，\(xhx^{-1} \in H\) 恒成立。所以 \(H\) 是 \(S\) 的正规子群。

F. 同态和元素的阶

F.6 设 \(f:G\to H\) 为同态。 \(p\) 是质数。求证： 如果 \(f\) 的值域里有阶为 \(p\) 的元素，那么 \(G\) 里有阶为 \(p\) 的元素。

证明 设 \(y\in \mathop{\rm ran} f\) 且 \(\mathop{\rm ord}(y) = p\)。则存在 \(x\in G\) 使得 \(y=f(x)\)。设 \(\mathop{\rm ord}(x) = n\) 则 \[y^n = [f(x)]^n = f(x^n) = f(e) = e\] 由 \(y^n = e\) 知 \(p | n\)。设 \(kp = n\)，\(1 \le k < n\)。则有 \(x^k \ne e\)，而 \[(x^k)^p = x^{kp} = x^n = e\] 因此 \(x^k\) 的阶是 \(p\) 的约数。但 \(x^k \ne e\)，所以阶只可能是 \(p\)。 这样就找到了 \(G\) 中阶为 \(p\) 的元素 \(x^k\)。

I. 共轭子群

设 \(H\) 是 \(G\) 的子群。 对于任意 \(a\in G\)，定义 \(aHa^{-1} = \{axa^{-1} : x\in H\}\)；\(aHa^{-1}\) 称为 \(H\) 的共轭。证明下列命题。

I.3 \(H\) 是 \(G\) 的正规子群当且仅当对任意 \(a\in G\) 有 \(H = aHa^{-1}\)。

证明

必要性。设 \(x\in H\)，则因为 \(a^{-1}\in G\)，根据正规子群定义有 \(a^{-1}xa \in H\)，即存在 \(h\in H\) 使得 \(a^{-1}xa = h\)。该方程等价于 \(x = aha^{-1} \in aHa^{-1}\)。另一方面，设 \(x\in aHa^{-1}\)，则存在 \(h\in H\) 使得 \(x=aha^{-1}\)。因为 \(h\in H\)，根据正规子群定义有 \(aha^{-1} \in H\)，即 \(x\in H\)。所以 \(x\in H \Leftrightarrow x\in aHa^{-1}\) 对任意 \(a\) 都成立，即 \(H = aHa^{-1}\)。

充分性。设 \(x\in H\)。则 \(axa^{-1} \in aHa^{-1} = H\) 对任意 \(a\) 都成立，符合正规子群的定义。

在以下的习题中 \(G\) 为有限群。\(H\) 的正规化子指的是集合 \(N(H) = \{a\in G : \forall x\in H,\,axa^{-1} \in H\}\)。

I.4 如果 \(a\in N(H)\)，则 \(H = aHa^{-1}\)。

证明 设 \(x\in aHa^{-1}\)，则存在 \(h\in H\) 使得 \(x = aha^{-1}\)。因为 \(a\in N(H)\)，有 \(aha^{-1} \in H\)，即 \(x \in H\)。这说明 \(aHa^{-1}\subseteq H\)。

另一方面，\(f(x) = axa^{-1}\) 是 \(H\to aHa^{-1}\) 的双射。这表明集合 \(H\) 和 \(aHa^{-1}\) 等势。因为 \(G\) 是有限群，所以 \(H\) 和 \(aHa^{-1}\) 都是有限集。有限集等势则元素个数相等。和 \(H\) 元素个数相等的子集只可能是 \(H\) 自身，即 \(aHa^{-1} = H\)。证明完毕。

I.5 \(N(H)\) 是 \(G\) 的子群。

证明 显然 \(e\in N(H)\)。在有限群的前提下只须证明 \(N(H)\) 对乘法封闭即可。 设 \(a,b\in N(H)\)，对任意 \(x\in H\) 有 \(h = bxb^{-1}\in H\)。那么，对 \(h\) 而言有 \(h’ = aha^{-1} \in H\)，即 \(abx(ab)^{-1} \in H\)。这表明 \(ab \in N(H)\)。所以 \(N(H)\) 对乘法封闭。

I.6 \(H\) 是 \(N(H)\) 的正规子群。

证明 设 \(a\in H\)，则对任意 \(x\in H\) 都有 \(axa^{-1} \in H\)。这表明 \(a\in N(H)\)。所以 \(H\) 是 \(N(H)\) 的子集。而已知 \(H\) 是群，所以 \(H\) 是 \(N(H)\) 的子群。

另一方面，设 \(x\in H\)。对任意 \(y\in N(H)\)，根据正规化子的定义，有 \(yxy^{-1} \in H\)。这表明 \(H\) 是 \(N(H)\) 的正规子群。

在以下的习题中设 \(N=N(H)\)。

I.7 对任意 \(a,b\in G\)，\(aHa^{-1} = bHb^{-1}\) 当且仅当 \(b^{-1}a\in N\) 当且仅当 \(aN = bN\)。

证明

1. （\(aHa^{-1} = bHb^{-1} \Longrightarrow b^{-1}a\in N\)） 设 \(x\in H\)，则存在 \(x’\in H\) 使得 \(ax’a^{-1} = bxb^{-1}\)。 从而 \(x = b^{-1}ax’(b^{-1}a)^{-1} \in H\) 对任意 \(x\in H\) 恒成立。这表明 \(b^{-1}a\in N\)。
2. （\(aHa^{-1} = bHb^{-1} \Longleftarrow b^{-1}a\in N\)）
   1. （\(x\in aHa^{-1} \Rightarrow x\in bHb^{-1}\)） 设 \(x\in aHa^{-1}\)，则存在 \(h\in H\) 使得 \(x = aha^{-1}\)。 根据 \(b^{-1}a\in N\) 得 \((b^{-1}a)h(b^{-1}a)^{-1} \in H\)。 设 \(h’ = (b^{-1}a)h(b^{-1}a)^{-1} = b^{-1}xb\)，则 \(x = bh’b^{-1} \in bHb^{-1}\)。
   2. （\(x\in aHa^{-1} \Leftarrow x\in bHb^{-1}\)）同理。
3. （\(b^{-1}a\in N \Longrightarrow aN=bN\)）
   1. （\(x\in aN \Rightarrow x\in bN\)） 设 \(x \in aN\)，则存在 \(n \in N\) 使得 \(x=an\)。又因为 \((b^{-1}a\in N\)，所以 \(b^{-1}an = b^{-1}a(a^{-1}x) = b^{-1}x \in N\)。设 \(b^{-1}x = n’\)，则 \(x=bn’ \in bN\)。
   2. （\(x\in aN \Leftarrow x\in bN\)）同理。
4. （\(b^{-1}a\in N \Longleftarrow aN=bN\)） 设 \(n\in N\) 则存在 \(n’\in N\) 使得 \(an’ = bn\)。从而 \(b^{-1}a = nn’^{-1} \in N\)。

注 第二个“当且仅当”不依赖于正规化子的定义，而是陪集的一般性质。

I.8 存在 \(H\) 的共轭与 \(N\) 的陪集之间的双射。

证明 确实，双射为 \(aHa^{-1} \leftrightarrow aN\)。根据上一问的结论可以验证其确实为双射。

I.9 \(H\) 的共轭恰好有 \((G:N)\) 个。特别地，\(H\) 的不同的共轭的个数是 \(|G|\) 的约数。

证明 在有限群的前提下，\(N\) 的陪集恰好有 \((G:N)\) 个。根据上一问的结论，\(H\) 的共轭与之一一对应，恰好也有 \((G:N)\) 个。这个数是 \(|G|\) 的约数，是拉格朗日定理的结论。

I.10 设 \(K\) 为 \(G\) 的子群，并设 \(K^\ast=\{Na:a\in K\}\)，并设 \[X_K=\{aHa^{-1} : a\in K\}\] 证明 \(X_K\) 和 \(K^\ast\) 之间存在双射。做出结论：\(X_K\) 中元素个数是 \(|K|\) 的因子。

证明 仿照 I.8 可知存在这样的双射（I.8 中是左陪集，这里是右陪集，没有本质差别；另外，这里增加了 \(a\in K\) 的限制，但证明过程并没有区别）。

在 \(K\) 中定义关系 \(a\sim b\) 为 \(Na = Nb\)，那么它将 \(K\) 划分为等价类，每个等价类对应 \(K^\ast\) 中的一个元素。另外，每个等价类都可以和 \(N\) 建立双射： \[f_a\colon N\to Na \text{ 定义为 }f_a(x) = xa\] 因此所有等价类的元素个数都相等。由此可知，等价类的个数（即 \(|K^\ast|=|X_K|\)）是 \(|K|\) 的因子。