《抽象代数》第十三章讲了群论中非常特别的概念：陪集 (coset)。群 G 的子群 H 中的所有元素和 G 中的某元素相乘，构成左陪集 aH = { ah : h ∈ H } 或右陪集 Ha = { ha : h ∈ H }。

陪集定义看似简单，却具备非常深刻的性质。著名的 Lagrange 定理¹：

有限群的阶一定是其子群的阶的倍数。 H ≤ G ⟹ ord(H) | ord(G).

描述的是子群和群的阶的关系。陪集是建立这种关系的桥梁。

B. 无限群的陪集的例子

B.1 给出 <3> 在 ℤ 中的所有陪集。

答

1. <3> + 0 = {…, -3, 0, 3, …}
2. <3> + 1 = {…, -2, 1, 4, …}
3. <3> + 2 = {…, -1, 2, 5, …}

易知任意陪集 <3> + n 都等于上述陪集之一，取决于 n 除以 3 的余数。

C. Lagrange 定理的初等结论

C.2 求证：如果群 G 的阶是 pq，其中 p 和 q 是质数，那么或者 G 是循环群，或者 G 中任意 x ≠ e 的阶是 p 或 q。

证明 由 Lagrange 定理知 ord(x) | pq。x 的阶只有 4 种情况: 1, p, q, pq。

如果 ord(x) = pq 则 G 是循环群（x的幂有 pq 个不同的值，遍历了群中所有元素），结论成立。

如果 ord(x) = 1 则 x = e，矛盾。所以 ord(x) ≠ 1。

因此 G 不是循环群的情况下 x 的阶只能是 p 或 q。（注：从逻辑角度，这里并不需要给出非循环群存在性的证明。）

综上所述，命题得证。

C.3 求证：如果群 G 的阶是 4，那么或者 G 是循环群，或者群中每个元素都是自己的逆。进一步证明四元群都是 Abel 群。

证明 设非单位元 x ∈ G, 由 Lagrange 定理知 ord(x) | 4。x 的阶只有 2 种情况：2, 4。

如果 ord(x) = 4 则 G 是循环群。循环群都是 Abel 群。

如果 ord(x) = 2，则 x² = e 即 x = x⁻¹。设 a,b ∈ G 可知 ab ∈ G，因此 ab = (ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹ = ba，因而 G 是 Abel 群。

综上所述，命题得证。

C.6 求证：设 \(p\) 为质数，则任意有限群中，阶等于 \(p\) 的元素的个数是 \((p-1)\) 的倍数。

证明 设有限群 \(G\) 的阶为 \(n\)。

考虑集合 \(S = \{ x \in G : \mathrm{ord}(x) = p \}\)。我们要证 \(|S|\) 是 \((p-1)\) 的倍数。

如果 \(S = \varnothing\)，则 \(|S| = 0\) 满足要求。

否则，记 \([x] = \langle x\rangle \backslash \{e\}\)，即由 \(x\) 生成的循环群中的非单位元。 考虑 \(T = \{ [x] : x \in G \}\)。我们证明 \(T\) 是 \(S\) 的一个分划。

首先说明， \(|[x]| = p-1\)，因为 \(|\langle x\rangle| = p\)。 其次 \(\bigcup T\) 中所有元素的阶都是 \(p\)：设 \(t \in [x] \in T\)，那么 \(t \ne e\) 且 \(\mathrm{ord}(t)\) 整除 \(|\langle x\rangle| = p\)。因此只可能是 \(\mathrm{ord}(t) = p\)。

1. 证明两两不交： \([x] \cap [y] \ne \varnothing \Longrightarrow [x] = [y]\)
   • 设交集非空： \(x^a = y^b\), \(0 < a,b < p\)。
   • 因为 \(\mathrm{ord}(x^a) = p\)，所以 \(x^a\) 是 \(\langle x\rangle\) 的生成元。同理可证 \(y^b\) 是 \(\langle y\rangle\) 的生成元。
   • \(t ∈ [x] \Longleftrightarrow (\exists n\in\mathbb Z,\, (x^a)^n = t = (y^b)^n) \Longleftrightarrow t \in [y]\)。这说明 \([x] = [y]\)。
2. 证明分划是完备的：\(S = \bigcup T\)
   • 首先， \(x \in \bigcup T \Longrightarrow \mathrm{ord}(x) = p \Longrightarrow x \in S\)
   • 其次， \(x \in S \Longrightarrow (\exists[x] \in T, x ∈ [x]) \Longrightarrow x \in \bigcup T\)。

因此 \[|S| = \sum_{[x] \in T} |[x]| = \sum_{[x] \in T} (p-1) = |T|(p-1)\] 因此 \(|S|\) 是 \((p-1)\) 的倍数，证明完毕。

注 用通俗的话讲，证明的关键在于：每找到一个阶为 \(p\) 的元素，它的生成群里能找到 \((p-1)\) 个阶为 \(p\) 的元素。

D. Lagrange 定理的更多初等结论

D.1 在这个习题系列中均有：\(G\) 为有限群， \(H\) 和 \(K\) 是 \(G\) 的子群。

求证：如果 \(H\subseteq K\) （从而 \(H\) 是 \(K\) 的子群），则 \((G:H) = (G:K)(K:H)\)。

证明 根据 Lagrange 定理有 \begin{gather} (G:H) = |G|/|H| \\ (G:K) = |G|/|K| \\ (K:H) = |K|/|H| \\ \end{gather}

代入即得要证的等式两边相等。

D.2 求证：\(H\cap K\) 的阶是 \(H\) 的阶和 \(K\) 的阶的公约数。 证明

1. \(H\cap K \ne \varnothing\)，因为 \(e \in (H\cap K)\)。
2. \(x,y\in (H \cap K) \Longrightarrow x,y\in H \wedge x,y\in K \Longrightarrow xy\in H \wedge xy\in K \Longrightarrow xy\in (H\cap K)\)
3. \(x \in (H\cap K) \Longrightarrow x\in H \wedge x\in K \Longrightarrow x^{-1} \in H \wedge x^{-1}\in K \Longrightarrow x^{-1} \in (H\cap K)\)

所以，\(H\cap K\) 既是 \(H\) 的子群，也是 \(K\) 的子群。 根据 Lagrange 定理，\(H\cap K\) 的阶既是 \(H\) 的阶的约数，也是 \(K\) 的阶的约数。 证明完毕。

D.3 设 \(|H| = m\), \(|K| = n\)，其中 \(m\) 和 \(n\) 互质。求证： \(H\cap K = \{e\}\)。

证明 由D.2的结论得 \(|H\cap K|\) 是 \(m\) 和 \(n\) 的公约数。 但 \(m\) 和 \(n\) 互质，因此只能是 \(|H\cap K| = 1\)。一元群只可能是平凡群 \(\{e\}\)，证明完毕。

D.4 设 \(H \ne K\)，并且 \(|H| = |K| = p\) 为质数。求证：\(H\cap K = \{e\}\)。

证明 由D.2的结论得 \(|H\cap K|\) 是 \(p\) 的约数。但根据 \(H \ne K\) 可知 \(|H\cap K| \ne p\)， 因此只能是 \(|H\cap K| = 1\)。所以只能是 \(H\cap K = \{e\}\)，证明完毕。

D.5 设 \(H\) 的指数是 \(p\)，\(K\) 的指数是 \(q\)，其中 \(p\)、\(q\) 是不同的质数。求证： \(H\cap K\) 的指数是 \(pq\) 的倍数。

证明 根据 Lagrange 定理， \[(G:H\cap K) = {|G|\over|H\cap K|} = {(G:K)|K|\over|H\cap K|} = {(G:H)|H|\over|H\cap K|}\]

根据D.2结论得 \(|K|/|H\cap K|\) 和 \(|H|/|H\cap K|\) 都是整数。所以 \((G:H\cap K)\) 既是 \((G:H) = p\) 的倍数又是 \((G:K) = q\) 的倍数，因此是 \(pq\) 的倍数。

D.6 设 \(G\) 是 \(n\) 阶 Abel 群，\(m\) 是和 \(n\) 互质的整数。求证：函数 \(f(x) = x^m\) 是 \(G\) 的自同构。

证明

1. 证明 \(f\) 是单射：设 \(x,y\in G\) 且 \(x^m = y^m\)，则 \(x^my^{-m} = e\)。根据 Abel 群性质得 \((xy^{-1})^m = e\)。设 \(r = \mathrm{ord}(xy^{-1})\)，则 \(m\) 是 \(r\) 的倍数。根据 Lagrange 定理，\(r\) 是 \(n\) 的约数。因为 \(m\) 和 \(n\) 互质，所以只能是 \(r=1\)。因此 \(xy^{-1} = e\) 即 \(x = y\)。
2. 证明 \(f\) 是满射：设 \(y\in G\)，只须证明存在 \(x\in G\) 使得 \(x^m = y\) 即可。事实上，设 \(x = y^k\) 就可以找到一个解：原方程变为 \(y^{km} = y\)。当 \(km = qn + 1\) 时满足要求。我们验证这个关于 \(k\) 和 \(q\) 的方程有整数解：根据初等数论知识，该方程有整数解的充要条件是系数的最大公约数整除常数项。而根据互质可知 \(\gcd(m,n) = 1\)，所以方程有整数解。
3. 证明 \(f\) 保持运算法则：设 \(x,y\in G\)，则 \(f(xy) = (xy)^m = x^my^m = f(x)y(x)\)。

因此 \(f\) 是 \(G\to G\) 的一个同构，即 \(G\) 的自同构。

E. 陪集的初等性质

在这个习题系列中均有：\(G\) 为群，\(H\) 的子群，\(a\)、\(b\) 是 \(G\) 的元素。

E.4 求证：如果 \(aH=Ha\)，则 \(a^{-1}H = Ha^{-1}\)。

证明 设 \(x \in a^{-1}H\)，则存在 \(h\in H\) 使得 \(a^{-1}h = x\)。 从而 \[axa = ha \in Ha = aH\] 这表明存在 \(h’\in H\) 使得 \(ah’ = axa\)，于是 \(x = h’a^{-1} \in Ha^{-1}\)。

上述推理沿反方向也是成立的，所以命题得证。

I. 共轭元

如果 \(a\in G\)，那么形如 \(xax^{-1}\) 的元素称为 \(a\) 的共轭 (conjugate)，其中 \(x\in G\)。证明下列命题。

I.1 “\(a\) 是 \(b\) 的共轭”是一个 \(G\) 上的等价关系。（以下记作“\(a\sim b\)”。）

证明

1. 自反性。显然有 \(a=eae^{-1}\)，即 \(a\sim a\)。
2. 对称性。设 \(a\sim b\)，则存在 \(x\in G\) 使得 \(a=xbx^{-1}\)。于是 \(b=x^{-1}ax\)，所以 \(b\sim a\)。
3. 传递性。设 \(a\sim b\) 且 \(b\sim c\)，那么存在 \(x,y\in G\) 使得 \(a=xbx^{-1}\) 且 \(b=ycy^{-1}\)。消去 \(b\) 得 \(a = xy c (xy)^{-1}\)，这表明 \(a\sim c\)。

综上所述，\(a\sim b\) 是等价关系。

关系 \(\sim\) 把 \(G\) 划分为等价类，称为共轭类 (conjugacy classes)。

对任意 \(a\in G\)，\(a\) 的中心化子 (centralizer)（记作 \(C_a\)）是 \(G\) 中所有与 \(a\) 可交换的元素的集合： \[C_a = \{x\in G : xa = ax\} = \{x\in G : xax^{-1} = a\}\] 证明下列命题。

I.2 对任意 \(a\in G\)，\(C_a\) 是 \(G\) 的子群。

证明 显然 \(C_a\) 是 \(G\) 的非空子集（包含单位元）。设 \(x,y\in C_a\)，那么 \[(xy)a(xy)^{-1} = x(yay^{-1})x^{-1}=xax^{-1} = a\] 这表明 \(C_a\) 对乘法封闭。另一方面， \[x^{-1}ax=x^{-1}xa = a\] 这表明 \(C_a\) 对逆元封闭。综上所述，\(C_a\) 是 \(G\) 的子群。

I.3 \(x^{-1}ax=y^{-1}ay\) 当且仅当 \(xy^{-1}\) 与 \(a\) 可交换当且仅当 \(xy^{-1} \in C_a\)。

证明 第二个“当且仅当”是中心化子的定义。第一个“当且仅当”证明如下： \begin{align*} x^{-1}ax=y^{-1}ay &\iff ax = xy^{-1}ay \\ &\iff axy^{-1} = xy^{-1}a \end{align*}

I.4 \(x^{-1}ax=y^{-1}ay\) 当且仅当 \(C_ax = C_ay\)。

证明 \begin{align*} C_ax = C_ay &\iff xy^{-1} \in C_a \\ &\iff x^{-1}ax=y^{-1}ay & (\text{I.3}) \end{align*}

I.5 在 \(a\) 的所有共轭构成的集合与 \(C_a\) 的所有陪集构成的集合之间存在一一对应的关系。

证明 对应关系为 \(xax^{-1} \leftrightarrow C_ax\)。I.4 保证了双射。

I.6 \(a\) 的不同的共轭的个数为 \((G:C_a)\)，即 \(C_a\) 在 \(G\) 中的质数。因此，每个共轭类的大小都是 \(|G|\) 的因子。

证明 由 I.5 知 \(a\) 的共轭的个数就是 \(C_a\) 的陪集的个数，即 \((G:C_a)\)。

注 这里的讨论仅限于 \(G\) 是有限群的情况。