问题一： 设 $X_i$ ($i=1,2,\dots ,N$) 为相互独立的离散随机变量， 取值为整数， 且服从 $[0,M)$ 上的均匀分布。 求 $Pr(X_1<X_2<\cdots <X_N)$。

解

设 $P_n(x)=Pr(X_1<X_2<\cdots <X_n<x)$ $(0\le x<M)$。 对 $X_n$ 分类讨论，根据全概率公式，

$$P_n(x)=\sum _{k=0}^{M-1}Pr(X_n=k)Pr(X_1<X_2<\cdots <X_{n-1}<k<x).$$ 其中， $Pr(X_n=k)=\frac{1}{M}$， 且 $$Pr(X_1<X_2<\cdots <X_{n-1}<k<x)=\{\begin{array}{ll}{P}_{n-1}(k)& 0\le k<x\text{,}\\ 0& x\le k<M\text{.}\end{array}$$ 故 $$P_n(x)=\frac{1}{M}\sum _{k=0}^{x-1}{P}_{n-1}(k).$$

此为递归式。 结合初始条件 $P_1(x)=Pr(X_1<x)=\frac{x}{M}$， 根据朱世杰恒等式， 递推可得 $$P_N(x)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{N})}{M^N}.$$ 问题中所要求的概率为 $P_N(M)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{M}{N})}{M^N}$。

此题有组合学的解法： M 个数中取 N 个不重复 （因所求概率中为严格不等号） 的数字， 共 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{M}{N})$ 种取法， 每种取法对应一个升序序列， 此为分子。 另一方面， M 个数中取 N 个 （放回取样） 数共有 $M^N$ 种取法， 此为分母。 即得答案。

问题二： 同问题一， 但 $X_i$ 为连续随机变量， 取值为实数。

解 直观上此题答案应与 $M$ 无关， 下面设法求解。 设 $P_n(x)=Pr(X_1<X_2<\cdots <X_n<x)$ $(0\le x<M)$。 对 $X_n$ 分类讨论，根据全概率公式， $$P_n(x)={\int }_0^M{f}_{X_n}(t)Pr(X_1<X_2<\cdots <X_{n-1}<t<x);\mathrm{d}t.$$ 其中， $f_{X_n}(t)=\frac{1}{M}$ 为 $X_n$ 的概率密度函数， 且 $$Pr(X_1<X_2<\cdots <X_{n-1}<t<x)=\{\begin{array}{ll}{P}_{n-1}(t)& 0\le t<x\text{,}\\ 0& x\le t<M\text{.}\end{array}$$ 故 $$P_n(x)=\frac{1}{M}{\int }_0^x{P}_{n-1}(t);\mathrm{d}t.$$ 此为递归式。 结合初始条件 $P_1(x)=Pr(X_1<x)=\frac{x}{M}$， 递推可得 $$P_N(x)=\frac{x^N}{N!,M^N}.$$ 问题中所要求的概率为 $P_N(M)=\frac{1}{N!}$。

和这个答案相关有一些巧合供思考：

1. 在第一题的答案中取 $M\to \mathrm{\infty }$ 的极限可得 $\frac{1}{N!}$；
2. 将 N 个互不相同的数随机排列， 恰好构成升序序列的概率， 也是 $\frac{1}{N!}$。