问题一： 设 \(X_i\) (\(i=1,2,\dots,N\)) 为相互独立的离散随机变量， 取值为整数， 且服从 \([0,M)\) 上的均匀分布。 求 \(\Pr(X_1<X_2<\dots<X_N)\)。

解

设 \(P_n(x) = \Pr(X_1 < X_2 < \cdots < X_n < x)\) \((0 \leq x < M)\)。 对 \(X_n\) 分类讨论，根据全概率公式，

\[ P_n(x) = \sum_{k=0}^{M-1} \Pr(X_n=k) \Pr(X_1<X_2<\cdots<X_{n-1}<k<x). \] 其中， \(\Pr(X_n=k)={1\over M}\)， 且 \[ \Pr(X_1<X_2<\cdots<X_{n-1}<k<x) = \cases{ P_{n-1}(k)& $0\leq k<x$,\cr 0& $x\leq k<M$. } \] 故 \[ P_n(x) = {1\over M}\sum_{k=0}^{x-1} P_{n-1}(k). \]

此为递归式。 结合初始条件 \(P_1(x)=\Pr(X_1<x) = {x\over M}\)， 根据朱世杰恒等式， 递推可得 \[ P_N(x) = {{x\choose N}\over M^N}. \] 问题中所要求的概率为 \(P_N(M)={{M\choose N}\over M^N}\)。

此题有组合学的解法： M 个数中取 N 个不重复 （因所求概率中为严格不等号） 的数字， 共 \(M\choose N\) 种取法， 每种取法对应一个升序序列， 此为分子。 另一方面， M 个数中取 N 个 （放回取样） 数共有 \(M^N\) 种取法， 此为分母。 即得答案。

问题二： 同问题一， 但 \(X_i\) 为连续随机变量， 取值为实数。

解 直观上此题答案应与 \(M\) 无关， 下面设法求解。 设 \(P_n(x) = \Pr(X_1 < X_2 < \cdots < X_n < x)\) \((0 \leq x < M)\)。 对 \(X_n\) 分类讨论，根据全概率公式， \[ P_n(x) = \int_{0}^{M} f_{X_n}(t) \Pr(X_1<X_2<\cdots<X_{n-1}<t<x); {\rm d}t. \] 其中， \(f_{X_n}(t)={1\over M}\) 为 \(X_n\) 的概率密度函数， 且 \[ \Pr(X_1<X_2<\cdots<X_{n-1}<t<x) = \cases{ P_{n-1}(t)& $0\leq t<x$,\cr 0& $x\leq t<M$. } \] 故 \[ P_n(x) = {1\over M}\int_{0}^{x} P_{n-1}(t);{\rm d}t. \] 此为递归式。 结合初始条件 \(P_1(x)=\Pr(X_1<x) = {x\over M}\)， 递推可得 \[ P_N(x) = {x^N\over N!,M^N}. \] 问题中所要求的概率为 \(P_N(M)={1\over N!}\)。

和这个答案相关有一些巧合供思考：

1. 在第一题的答案中取 \(M\to\infty\) 的极限可得 \(1\over N!\)；
2. 将 N 个互不相同的数随机排列， 恰好构成升序序列的概率， 也是 \(1\over N!\)。