复数和矢量运算

在工程领域中，复数\(\dot{A}=A\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\)被用来指代一个有效值为\(A\)，初相位为\(\varphi\)的正弦量\(\Re\big[\sqrt2\dot{A}\big]=\sqrt2A\cos(\omega t+\varphi)\)。这样的复数常被称作相量(phasor)，通常会用更简便的Steinmetz记号\(\newcommand\phase{\enclose{phasorangle}}A\phase\varphi\)表示，并且使用角度制。

平面上的矢量和复数之间有一一对应的关系。如图，\(A\phase\varphi\)对应矢量\(\overrightarrow{OP}\)，它也可以用直角坐标形式表示为\(x+y\,\mathrm{i}\)。通常，把\(A\)取成非负的，称为模：\(r = \sqrt{x^2+y^2}\)；把\(\varphi\)取在区间\((-\pi,\pi]\)内，称为幅角：\(\varphi = \mathrm{atan2}(y, x)\)。

可以用欧拉公式证明两种形式是等价的，用矢量可以形象地表示出这一关系，便于记忆。

用复数和矢量分析交流电是很方便的。例如，在三相电源中，设A相电压\[\dot{U}_A = 220\phase{0^\circ}\;\mathrm{V},\]则另外两相电压分别可以表示为 \begin{align} \dot{U}_B &= 220\phase{-120^\circ}\;\mathrm{V}, \\ \dot{U}_C &= 220\phase{120^\circ}\;\mathrm{V}. \end{align}

这种记法的物理意义很明显。并且用这种表示进行算术运算也具有明确的意义。例如，线电压 \[\dot{U}_{AB} = \dot{U}_A - \dot{U}_B = 220\sqrt3\phase{30^\circ}\;\mathrm{V}.\] 可以直接从计算结果中读出它的幅值和相位。

上面的计算因为涉及特殊角，所以可以笔算得出结果。甚至可以画出对应矢量的图形（恰好构成等腰三角形），用图解法来做。

下面讨论一般的计算办法。

首先把\(\dot{U}_B = 220\phase{-120^\circ}\)转换成直角坐标形式。先用诱导公式把三角函数的参数化归到第一象限：\(\sin(-120^\circ)=-\sin 60^\circ\)，\(\cos(-120^\circ)=-\cos 60^\circ\)。查数学用表： \begin{array}{rrr} &\lg 220 =& 2.3424 \\ +& \lg\sin 60^\circ =& \overline{1}.9375 \\\hline && 2.2799\rlap{\quad=\lg190.5} \end{array} \begin{array}{rrr} &\lg 220 =& 2.3424 \\ +& \lg\cos 60^\circ =& \overline{1}.6990 \\\hline && 2.0414\rlap{\quad=\lg110.0} \end{array}

添上符号，得\(\dot{U}_{B} = -110.0 - j190.5\)。然后就可以进行减法计算 \[\dot{U}_{AB} = 220 - (-110 - j190.5) = 330.0 + j190.5. \]

为了求出幅值和相位，需要再转换为极坐标形式。一般地，可以归结为一个解直角三角形的问题。

设三边按从小到大的顺序分别为\(a,\,b,\,c\)，边\(a\)所对的角为\(\alpha\)。则\(\alpha=\arctan\frac{a}{b}\)。注意我们总用小数除以大数。 \begin{array}{rrr} &\lg 190.5 =& 2.2799 \\ -&\lg 330.0 =& 2.5185 \\\hline && \overline{1}.7614 \rlap{\quad=\lg\tan30^\circ} \end{array}

接下来计算斜边长\(c = \frac{a}{\sin\alpha}\)： \begin{array}{rrr} &\lg 190.5 =& 2.2799 \\ -&\lg\sin 30^\circ =& \overline{1}.6990 \\\hline &&2.5809 \rlap{\quad=\lg381.0} \end{array}

根据复数所在的象限和计算得出的\(\alpha\)，可以确定\(\varphi\)。各种情况总结在下表中。实际计算的时候，画出坐标系和复数所在的直角三角形，比较容易看出\(\alpha\)和\(\varphi\)的关系。

\begin{array}{cccc} \hline \text{象限} & x & y & \varphi_{|x| \ge |y|} & \varphi_{|x| < |y|} \\\hline \text{I} & + & + & \alpha & 90^\circ - \alpha \\ \text{II} & - & + & 180^\circ - \alpha & 90^\circ + \alpha \\ \text{III} & - & - & -(180^\circ - \alpha) & -(90^\circ + \alpha)\\ \text{IV} & + & - & -\alpha & -(90^\circ - \alpha) \\\hline \end{array}

由上表知，计算结果位于第I象限，并且\(|x| \ge |y|\)，所以\(\varphi=\alpha=30^\circ\)。因此极坐标形式为\(\dot{U}_{AB} = 381.0\phase{30^\circ}\;\mathrm{V}.\)

矢量计算尺

用矢量型的计算尺可以代替查表的工作。将角度化归到第一象限，以及根据象限确定\(\varphi\)取值的步骤和前面一样，此处省略。

当\(r=220\), \(\varphi=60^\circ\)时，计算过程如下：

  1. 移动滑尺使C刻度右端线对齐D刻度2.2；
  2. 将游标移至S刻度60，在D刻度读出1.905，得\(y=190.5\)；
  3. 将游标移至S刻度红字60，在D刻度读出1.100，得\(x=110.0\)。

当\(a=330.0\), \(b=190.5\)时，计算过程如下：

  1. 移动滑尺使C刻度右端线对齐D刻度3.3；
  2. 将游标移至D刻度1.905，在T刻度读出30，得\(\alpha=30^\circ\)；
  3. 移动滑尺使S刻度的30与游标对齐；
  4. 将游标移至C尺右端线，在D尺读出3.807，得\(c=380.7\)。可见，有少许误差。

科学计算器

利用科学计算器上的sin、cos和tan-1功能代替查表，也可以求出待求的量，而且不论是速度还是精度都更优。sin和cos可以接受任意角，因此不需要把角度化归到第一象限。但是，tan-1给出的角度在\(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\)内，因此仍然需要根据象限来确定幅角的取值。

现在市面上的科学计算器大多都含有直角坐标和极坐标转换的功能，分别是Rec(和Pol(。

Rec(r,θ)相当于计算\(r\cos\theta\)和\(r\sin\theta\)。结果将分别被保存到计算器的变量E和F(有些计算器可能是其他变量)中。

  • Rec(50,53.1301) → 30
  • E → 30
  • F → 40

Pol(x,y)相当于计算\(\sqrt{x^2+y^2}\)和\(\mathrm{atan2}(y,x)\)。这时计算器会根据象限自动确定幅角的值，使用起来更加简便了。

  • Pol(30,40) → 50
  • E → 50
  • F → 53.1301

还有一些科学计算器可以直接做复数计算，它的操作也最简单。

例如，在TI-89中，将角度模式设置为DEG，复数模式设置为POLAR，那么它可以自动地将计算结果显示成类似\(A\phase\varphi\)的格式。

  • 220/(30+40i) → (4.4 ∠-53.1301)

有时候需要得到直角形式，可以用‣Rect语法来实现。

  • (4.4 ∠-53.1301)⏵Rect → 2.64-3.52i

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