货币的时间价值是利息的(理论)来源。利息的计算是一个很有意思的问题。单利和复利属于比较简单的计算。 设一笔资金的现值是\(\text{PV}\)，每期利率是\(r\)，那么\(N\)期之后，按照复利计算，它的价值\[\text{FV} = \text{PV}\left(1+r\right)^N.\] 这就是著名的复利公式。

当每期都有新投入的现金时，就变得复杂起来。举个例子：银行贷款提供两种分期还款的方式：等额本息和等额本金。怎样计算每期应当偿还的金额？

等额本息

等额本息，即在每期末偿还一笔相同的金额\(\text{PMT}\)（也有在每期初还款的，暂不讨论这种情况），其中一部分是上期余额产生的利息，剩下的是偿还的本金。上期余额扣除本期偿还的本金后，成为本期余额……这个过程看起来挺复杂，其实利用货币的时间价值很容易算出\(\text{PMT}\)：把每期支付的金额归算为现值：

• 第1期：\(\frac{\text{PMT}}{1+r}\)
• 第2期：\(\frac{\text{PMT}}{(1+r)^2}\)
• …
• 第N期：\(\frac{\text{PMT}}{(1+r)^N}\)

将它们相加，总的现值 \begin{align} \text{PV} &= \text{PMT}\left[(1+r)^{-1} + (1+r)^{-2} + \cdots + (1+r)^{-N} \right] \\\ &= \text{PMT} \frac{(1+r)^{-1}\left[1-(1+r)^{-N}\right]}{1-(1+r)^{-1}} \\\ &= \text{PMT} \frac{1-(1+r)^{-N}}{r}. \end{align} 这也就是你每期支付\(\text{PMT}\)的情况下，银行愿意贷款给你的金额。反过来说，如果你打算贷款\(x\)，就可以根据此式算出每期的还款额 \[\text{PMT} = \frac{r}{1-(1+r)^{-N}} x.\]

举例来说，某人申请了银行贷款10000元，年利率为4.9%，分12个月还清（月利率=年利率/12）。那么，他每月的还款额根据公式可以得到： \[\text{PMT} = \frac{4.9%/12}{1-(1+4.9%/12)^{-12}} \times 10000 = 855.62;\text{(元)}\]

等额本息是银行贷款、分期消费等常用的还款方式。这里要注意一些潜在的陷阱。根据上面的计算可知需要支付的本息合计大约10267元，某些不怀好意的贷款人会宣称“年息2.67%”，这是错误的。同理，分期消费平台会用“手续费”的概念，使得不清楚状况的消费者低估了实际的利率。举个例子如下：

某分期平台申请12期分期付款，并额外共收取8.80%的手续费。还款方式如下：设消费金额为\(x\)，则每期还款\(\frac{(1+8.80%)x}{12}\)。问实际利率是多少？

注意，为了方便那些不专业的消费者理解或者算账，这个分期平台没有使用等额本息的还款公式，这里的“手续费”和实际的利率很可能相差甚远。

要解出实际利率很简单，只要比照等额本息的计算公式和分期平台给出的公式， \[\frac{r}{1-(1+r)^{-12}} = \frac{1+8.80%}{12}.\] 由此解得\(r=1.32%\)。因此，实际的年利率约为15.9%。

等额本金

等额本金是用的较少的一种还款方式。它的计算相对简单。设贷款总额是\(x\)，则每期偿还的本金固定为\(\frac{x}{N}\)，此外还需要偿还上一期余额产生的利息。因为余额是逐期递减的，所以每期的还款也是越来越少的。

第\(k\)期还款前，余额为\(\frac{N-k+1}{N}x\)，因此当期还款 \[\text{PMT}(k) = \frac{x}{N} + \frac{N-k+1}{N}xr.\]

举例来说，某人申请银行贷款10000元，年利率4.9%，采用等额本金的方式，分12月还清。那么，第1期他需要还款 \[\text{PMT}(1) = \frac{10000}{12} + 10000\times\frac{4.9%}{12} = 874.17;\text{(元)}.\] 之后每期可以比上一期少还\(\frac{1}{12}\times 10000 \times \frac{4.9%}{12} = 3.40\)元。到最后一期时，只需还款836.74元。

有人根据计算，认为：在期数和利率相等的情况下，使用等额本金方式还款，还款总额小于等额本息方式。所以使用前者更合算。我的结论是：第一句话有道理，而第二句话是错误的。

根据前面的分析，可知，等额本息的本息和为 \[A=N\cdot\text{PMT} = \frac{rN}{1-(1+r)^{-N}}x.\] 而等额本金的本息和为 \[B=\sum_{i=1}^{N}\text{PMT}(i) = \left(1 + \frac{N+1}{2}r\right)x.\]

可以证明， \[\frac{rN}{1-(1+r)^{-N}} \geq 1 + \frac{N+1}{2}r.\] 因此\(A\geq B\)。事实上等号只在个别极限情况取得，例如\(N=1\)或者\(r=0\)。一般来说，等额本息的本息和总是比等额本金的多。其实从直观上很容易理解，因为等额本息一开始偿还的本金少，所以计的利息就多，本息和自然就多。严格的证明见文末。

虽然两者的本息和不同，但是并不存在一种比另一种更合算的问题。实际上，本息和是一个没有意义的数字，因为它将不同时间点的金额直接求和，这就忽略了货币的时间价值。如果把等额本金的还款全部折算为现值，可以发现 \begin{align} \text{PV} &= \sum_{k=1}^N \frac{\text{PMT}(k)}{(1+r)^k} \\\ &= \frac{x}{N} \underbrace{\sum_{k=1}^N \frac{1+(N-k+1)r}{(1+r)^k}}_{\triangleq S}. \end{align}

使用错位相减法： \begin{eqnarray} S &&= &&\frac{1+Nr}{1+r} &+& \frac{1+(N-1)r}{(1+r)^2} &+& \cdots &+& \frac{1+2r}{(1+r)^{N-1}} &+& \frac{1+r}{(1+r)^N} \tag{1} \\\ (1+r)S &&= 1 + Nr & + &\frac{1+(N-1)r}{1+r} &+& \frac{1+(N-2)r}{(1+r)^2} &+& \cdots &+& \frac{1+r}{(1+r)^{N-1}} \tag{2} \end{eqnarray} \((2)-(1)\)，得 \begin{align} rS &= 1 + Nr -r \left[\frac{1}{1+r}+\frac{1}{(1+r)^2}+\cdots+\frac{1}{(1+r)^{N-1}}\right] - \frac{1+r}{(1+r)^N} \\\ &= 1 + Nr - r \frac{1-(1+r)^{-N+1}}{r} - (1+r)^{-N+1}\\\ &= Nr. \end{align} 由此可知\(S=N\)，因此\(\text{PV}=x\)，这和等额本息的情况是完全一样的。简单地说，无论怎样还款，银行发放给你的贷款金额一定等于你的所有还款的现值之和。

附：数学证明

求证\[\frac{rN}{1-(1+r)^{-N}} \geq 1 + \frac{N+1}{2}r,\quad N\in\mathbb{N}^*,, r \geq 0.\]

证明 ¹

原不等式等价于 \[ \left(1+\frac{N+1}{2}r\right)\frac{1-(1+r)^{-N}}{r} \leq N. \tag{$*$} \]

使用数学归纳法。首先验证\(N=1\)的情况：

\[\text{左边}=(1+r)\frac{1-(1+r)^{-1}}{r}=1=右边.\]

假设\((*)\)成立，现在需要验证用\(N+1\)替代\(N\)，不等式也成立。即，需要证明 \[ \left(1+\frac{N+2}{2}r\right)\frac{1-(1+r)^{-N-1}}{r} \leq N + 1. \]

证明如下： \begin{align} \text{左边} &= \left(1+\frac{N+1}{2}r + \frac{1}{2}r\right)\left[\frac{1-(1+r)^{-N}}{r}+(1+r)^{-N-1}\right] \\\ &= \underbrace{\left(1+\frac{N+1}{2}r\right)\frac{1-(1+r)^{-N}}{r}}_{\text{使用不等式$(*)$}} + \frac{1}{2}\left[1-(1+r)^{-N}\right] + \left(1+\frac{N+1}{2}r\right)(1+r)^{-N-1} + \frac{1}{2}r(1+r)^{-N-1} \\\ &\leq N + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\big[-(1+r)+2+(N+1)r+r\big]{(1+r)}^{-N-1} \\\ &= N + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\frac{\overbrace{1+(N+1)r}^{\leq(1+r)^{N+1},\rlap{\text{(伯努利不等式)}}{}}}{(1+r)^{N+1}} \\\ &\leq N + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \\\ &=右边. \end{align}

综上所述，\((*)\)对任意正整数都成立。