我一直用一个简单的近似公式来估算一个数的平方根： \[\sqrt{n^2+d} \approx n + \frac{d}{2n}.\]

例如我想估算10的算术平方根，心中默想\(10=3^2+1\)，于是\(\sqrt{10}\approx 3+\frac{1}{6} = 3.167\)。这个方法非常简单有效。

我不知道以前的算术课程是否要讲授笔算开方的方法。反正自从电子计算器普及，这些技术就无人问津了。有一种竖式方法可以用来做任意位数的开方运算，如下图所示：

方法是，将被开方数以小数点为基准，每两位分为一段，每段将要对应结果中的一位。接下来列一个类似除法的竖式。略有不同的是，除数是不定的。确定除数的方法如下：将现有的商数（即第一行的数值，不计小数点）乘以20，写在最左边一栏，这时候，末尾的一位0暂时不要写，用下划线代替。确定好除数以后，进行试商，即取一个0~9的数字，填在下划线上，然后将除数和这个数相乘。如果恰好最接近被除数但不超过，就确定了这位商数，可以写在第一行相应的位置上。试商的时候，可以先利用高位的数字进行估算，然后填上下划线上数字，进行具体的计算。接下来的运算和除法类似：计算余数，然后从被开方数中补上一段，构成新的被除数。

这种算法式的描述并没有讲明白这个运算的原理。这个计算方法有一个优点就是可以无限地进行下去，缺点则是算式中数字的位数会越来越大，计算也就会越来越困难。

由上面的算式可知，\(\sqrt{10}\approx 3.1622777\)，前面提到的估算方法的误差大约为0.1%，精度很不错了，而且省了大量的脑力。

如果手头有平方数表，那么开方自然是一件不费力的事。要获得较多的有效数字，除了竖式笔算以外，通常需要借助较为精密的对数表。我偶然看到了一本1970年的《简便八位对数表》，它的计算方法非常精妙，使得对数表本身可以精简，而且精度也足够。对此我感到耳目一新。只是可惜那个年代已应是计算机大行其道的时候了，即便研究出再巧妙的手工计算方法，意义真的不大。

使用对数表开方的原理为下述恒等式：\(\lg\sqrt{x} = \frac{1}{2}\lg x\)。例如，10的对数（碰巧）是1，那么它的算术平方根的对数就是0.5。我们只需在对数表中找出0.5对应的真数即可。用那本《简便八位对数表》做例子¹，经过一系列的计算将得到\(\lg\sqrt{10} = 0.5 = \lg 3.16227766\)，和竖式方法的结果是一致的。

如果不是要开平方而是要开立方，那也很容易通过对数表来完成。以一般的四位对数表为例，只要查0.3333对应的真数即可。很容易查到答案为2.155，用计算器验算可知误差为0.02%。如用八位对数表，则很容易得到8位有效数字。另一方面，如果要用竖式的方法开立方，那么计算将是相当繁琐的。

作为对这种神奇的技术的致敬，我花了几个小时的时间对《简便八位对数表》做了“数码重制”，并且印制成了A5大小的小册子。