基本上只有到了一年一度的高考日子才有兴趣研究那么几道数学题。我已脱离高考三年，能力也是退化了许多。户枢不蠹，流水不腐。重温几道数学题，仿佛可以将已锈蚀的脑子润滑起来。

问题：已知锐角\(\triangle ABC\)满足\(\sin A = 2\sin B \sin C\)。则\(\tan A \tan B \tan C\)的最小值为______。

解答：因为 \[ \tan A \tan B \tan C = \frac{\sin A \sin B \sin C}{\cos A \cos B \cos C}, \] 代入 \[\left\lbrace\begin{aligned} \sin A &= 2\sin B\sin C, \\ \cos A &= -\cos(B + C) = \sin B \sin C - \cos B \cos C \end{aligned}\right.\] 得

\[\begin{align} \tan A \tan B \tan C &= \frac{2\sin^2 B \sin^2 C}{(\sin B \sin C - \cos B \cos C)\cos B \cos C} \\ &= \frac{2\tan^2 B \tan^2 C}{\tan B \tan C - 1} \\ &= f(\tan B \tan C) \end{align}\] 其中\(f(x) = \frac{2x^2}{x-1}\)。只要能够先确定\(\tan B \tan C\)的取值范围，就能得到\(f(\tan B \tan C)\)的取值范围（我们只需求最小值）。

为了确定\(\tan B \tan C\)的取值范围，考虑到这是一个三角形，不妨采用以边代角的策略。因此作出\(\triangle ABC\)的图像。

过A作BC的垂线，垂足为D。并设\(AD=h\), \(BD=a_1\), \(DC=a_2\)。从图中可以直接读出\(B\)的\(C\)的三角函数。

根据题中条件，得 \[\sin A = 2\sin B \sin C = 2\cdot\frac{h}{c}\cdot\frac{h}{b} = \frac{2h^2}{bc}.\]

另一方面，关于三角形的面积\(S\)有如下等式成立： \[\frac{1}{2}bc\sin A = S = \frac{1}{2}ah.\] 因此\(\sin A = \frac{ah}{bc}\)。

由此可知\(\frac{ah}{bc} = \frac{2h^2}{bc}\)，解得\(h=\frac{a}{2}\)，是一个定值，这是一个重要的发现。

注意到 \[\tan B \tan C = \frac{h}{a_1}\cdot\frac{h}{a_2} = \frac{a^2}{4a_1a_2}.\]

根据基本不等式，\(a_1a_2 \leq \left(\frac{a_1+a_2}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}\)，当且仅当\(a_1 = a_2 = \frac{a}{2}\)时，取“=”。所以\(a_1a_2\)的取值范围是\(\left(0, \frac{a^2}{4}\right)\)¹，于是\(\tan B \tan C\)的取值范围是\((1, +\infty)\)。

对函数\(f(x) = \frac{2x^2}{x-1}, x \in (1, +\infty)\)求导，得 \[f’(x) = \frac{2x(2-x)}{(x-1)^2}.\] 由此可知，在\((1,2)\), \(f’(x) < 0\)，函数单调递减；在\((2, +\infty)\), \(f’(x) > 0\)，函数单调递增。所以最小值为\(f(2) = 8\)。