如图所示的电路，在\(t=0\)时刻，有\(i_{L_r}(0)=I_0\), \(u_{C_r}(0)=0\)。试求\(t>0\)时的\(i_{L_r}(t)\)和\(u_{C_r}(t)\)。

这电路含有动态元件，可以使用运算法来求解。

如图，作出运算电路，在电感和电容之间的节点处，由基尔霍夫电流定律得 \[{U_i/s - u_{C_r}(s) \over sL_r} + {i_{L_r}(0) \over s} - {u_{C_r}(s) \over 1/(sC_r)} - {I_0 \over s} = 0.\]

解得\[u_{C_r}(s) = {U_i\over s}{1\over1+L_rC_rs^2} = U_i{\omega_r^2\over s(s^2+\omega_r^2)},\] 其中\(\omega_r={1\over\sqrt{L_rC_r}}\)。

电感电流是运算电路中的电感电流加上附带的电流源的电流，即 \[\eqalign{ i_{L_r}(s) &= {U_i/s - u_{C_r}(s) \over sL_r} + {i_{L_r}(0) \over s} \cr &= {U_iC_r\over1+L_rC_rs^2} + {i_{L_r}(0) \over s} \cr &= {U_i\over Z}{\omega_r\over s^2+\omega_r^2} + {i_{L_r}(0) \over s}, }\] 其中\(Z=\sqrt{L_r\over C_r}\)。

根据拉普拉斯变换表， \[\eqalign{ {\cal L}\lbrace 1\rbrace &= {1\over s}, \cr {\cal L}\lbrace \sin{\omega t}\rbrace &= {\omega \over s^2 + \omega^2}, \cr {\cal L}\lbrace 1-\cos{\omega t}\rbrace &= {\omega^2 \over s(s^2 + \omega^2)}. \cr }\]

可知时域的解为 \[\eqalign{ i_{L_r}(t) &= {U_i\over Z}\sin{\omega_rt} + I_0, \cr u_{C_r}(t) &= U_i(1-\cos{\omega_rt}). }\]