致EE120。

拉普拉斯变换和z变换分别是连续时间和离散时间的傅里叶变换的推广。一方面，运用这些变换可以处理种类更加多的函数；另一方面，它们是分析线性时不变系统和求解微分/差分方程的有力工具。

拉普拉斯变换

回顾连续时间傅里叶变换的定义： \[{\cal F}\{x(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} x(t){\rm e}^{-j\omega t};{\rm d}t.\]

其中\(s=j\omega\)称为复频率。在傅里叶变换中，它只有虚部而没有实部。如果让复频率包含实部，即\(s=\sigma+j\omega\)，则构成拉普拉斯变换： \[X(s) = {\cal L}\{x(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} x(t){\rm e}^{-st};{\rm d}t.\]

拉普拉斯变换也可以看做函数\(x(t){\rm e}^{-\sigma t}\)的傅里叶变换，因此它是否收敛也可以借助Dirichlet条件来判别。其中的绝对可积条件 \[\int_{-\infty}^{\infty} \big|x(t){\rm e}^{-\sigma t}\big|;{\rm d}t < \infty\] 不仅和要变换的函数有关，还和\(\Re(s)=\sigma\)的取值有关。对于工程上很多常用的函数，拉普拉斯变换总是可以收敛的，只要你提供适当的\(\sigma\)的值；\(\sigma\)是你和Dirichlet条件进行谈判的筹码。对于某个特定的函数\(x(t)\)，所有使得拉普拉斯变换收敛的\(s\)的取值构成收敛域(Region of Convergence)。

举例而言，单位阶跃函数\(u(t)\)不存在严格意义上的傅里叶变换，但是 \[\eqalign{ {\cal L}\{u(t)\} &= \int_{-\infty}^{\infty} u(t){\rm e}^{-st};{\rm d}t \cr &= \int_{0}^{\infty} {\rm e}^{-st};{\rm d}t \cr &= \left.-{1\over s} {\rm e}^{-st} \right|_{0}^{\infty} \cr &= {1\over s}. \qquad (\Re(s)>0) }\]

不过需要注意的是，类似的计算表明， \[{\cal L}\{-u(-t)\} = {1\over s}. \qquad(\Re(s) < 0)\] 可见收敛域在拉普拉斯变换中非常重要：两个不同的函数的拉普拉斯变换可能具有相同的表达式，但它们的收敛域不同。

查表法

和傅里叶变换一样，拉普拉斯变换也具有许多有用的性质。比较常用的是 \[{\cal L}\left\{{{\rm d}\over {\rm d}t}x(t)\right\} = sX(s)\] 也即时域中的求导符号可以换成频域中的\(s\)符号。这个性质可以把微分方程转化为代数方程。

在数学工具书上可以找到事先计算好的拉普拉斯变换表。结合拉普拉斯变换的性质，可以推出大部分常用函数的拉普拉斯变换。其中，变换对 \[{\cal L}\{{\rm e}^{at}u(t)\} = {1\over s-a}. \qquad(\Re(s)>\Re(a))\] 在求解微分方程式非常有用。

单边拉普拉斯变换和微分方程

单边拉普拉斯变换定义为 \[{\cal X}(s) = \int_{0}^{\infty} x(t){\rm e}^{-st};{\rm d}t.\] 即不考虑\(t<0\)的行为。

有些教科书将单边拉普拉斯变换定义为拉普拉斯变换，而将上节所述的拉普拉斯变换称为双边拉普拉斯变换。

和双边拉普拉斯变换不同，时域内微分的性质变为 \[{\cal L}\left\{{{\rm d}\over{\rm d}t}x(t)\right\} = sX(s)-x(0)\] 多了和初始条件有关的项。所以单边拉普拉斯变换可以用于求解含初始条件的微分方程。而双边拉普拉斯变换则相当于默认初始条件均为0。

考虑微分方程 \[y^{\prime\prime}+3y’+2y=0.\] 初始条件为\(y’(0)=1, y(0)=0\).

对两边同时取单边拉普拉斯变换，得到代数方程 \[\Big[s^2Y(s)-sy(0)-y’(0)\Big] + 3[sY(s)-y(0)] + 2Y(s) = 0,\] 由此解出 \[Y(s) = {1\over (s+1)(s+2)} = {1\over s+1} - {1\over s+2}. \] 根据拉普拉斯变换的线性性质和上面给出的变换对，可知 \[y(t) = ({\rm e}^{-t} - {\rm e}^{-2t})u(t).\]

z变换

z变换是拉普拉斯变换的离散版本： \[X(z) = {\cal Z}\{x[n]\} = \sum_n x[n]z^{-n}.\] 其中\(z = r{\rm e}^{j\omega}\)。和拉普拉斯变换类似，z变换的收敛性和\(|z|=r\)的取值有关。所有使得z变换收敛的\(z\)的取值构成z变换的收敛域。

当\(r=1\)时，z变换就是离散时间傅里叶变换\(X({\rm e}^{j\omega})\)。

z变换的重要性质是它可以将时域中的延迟转换为频域中的\(z^{-1}\)符号，即 \[{\cal Z}\{x[n-1]\} = z^{-1}X(z).\]

这个重要性质常常被用于求解差分方程。

查表法和差分方程

在数学工具书上可以找到z变换的性质和事先计算好的z变换表格。常用的如 \[{\cal Z}\{a^nu[n]\} = {1\over 1-az^-1}\] 在求解差分方程时较为有用。

举例而言，我们希望求出斐波那契数列的通项公式。斐波那契数列是如下差分方程 \[x[n]-x[n-1]-x[n-2]=u[n-1]\] 的零初始状态的解。

两边取z变换后得到 \[X(z)-z^{-1}X(z)-z^{-2}X(z)=z^{-1}.\] 解出 \[\eqalign{ X(z)&={z^{-1}\over 1-z^{-1}-z^{-2}} \cr &= {z^{-1}\over (1-\alpha z^{-1})(1-\beta z^{-1})} \cr &= {1\over \alpha-\beta}\left({1\over1-\alpha z^{-1}}-{1\over1-\beta z^{-1}}\right). }\] 其中\(\alpha = {1+\sqrt5\over2},,\beta = {1-\sqrt5\over2}\)。根据z变换的线性性质和上面给出的变换对，可知 \[\eqalign{ x[n] &= {1\over \alpha-\beta}\left(\alpha^n - \beta^n\right)u[n] \cr &= {1\over\sqrt5}\left[\left(1+\sqrt5\over2\right)^n - \left(1-\sqrt5\over2\right)^n\right]u[n]. }\]