1. 已知$a>1$, $m>n>0$，求证$gcd(a^m-1,a^n-1)=a^{gcd(m,n)}-1$；
2. 已知$a>b$, $gcd(a,b)=1$，求证$gcd(a^m-b^m,a^n-b^n)=a^{gcd(m,n)}-b^{gcd(m,n)}$。

仅就第2个命题给出证明，如下。

设$m=pg,n=qg$，其中$g=gcd(m,n)$。易知$p$和$q$互质。设$x=a^g,y=b^g$，则显然$x$和$y$互质，且原命题的结论转化为

$$gcd(x^p-y^p,x^q-y^q)=x-y$$

由等比级数公式 $$1+r+r^2+\cdots +r^N=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}$$ 可知 $$r^{N+1}-1=(r-1)(r^N+r^{N-1}+\cdots +1)$$

若取$r=x/y$, $N=p-1$，然后两边同乘以$y^p$，得 $$x^p-y^p=(x-y)(x^{p-1}+x^{p-2}y+\cdots +y^{p-1})$$

同理 $$x^q-y^q=(x-y)(x^{q-1}+x^{q-2}y+\cdots +y^{q-1})$$

由此可以看出，$x^p-y^p$和$x^q-y^q$具有公因子$x-y$。下面证明剩下的因子是互质的。

把形如$x^{n-1}+x^{n-1}y+\cdots +y^{n-1}$（即，$\sum _{k=0}^{n-1}{x}^{n-k-1}{y}^k$，其中$x$和$y$互质）的式子记作$f(n)$，则需要证明如下命题：

“若$p$与$q$互质，则$f(p)$与$f(q)$互质。”

不妨设$p>q$，则

$$\begin{array}{rl}f(p)& =x^{p-1}+x^{p-2}y+\cdots +x^{p-q}{y}^{q-1}+x^{p-q-1}{y}^q+\cdots +y^{p-1}\\ & =x^{p-q}(x^{q-1}+x^{q-2}y+\cdots +y^{q-1})+(x^{p-q-1}+\cdots +y^{p-q-1})y^q\\ & =x^{p-q}f(q)+f(p-q)y^q\end{array}$$

要证明$f(p)$和$f(q)$互质，只需证明$f(q)$和$f(p-q)y^q$互质。

首先，$f(q)$和$y^q$一定互质，这是因为$(x-y)f(q)=x^q-y^q$和$y^q$互质，因为$x$和$y$互质。

于是，只需证明$f(q)$和$f(p-q)$互质即可。令$p^{\prime }=q$, $q^{\prime }=p-q$，显然$p^{\prime }$和$q^{\prime }$是互质的。接下来需要证明的命题为

“若$p^{\prime }$与$q^{\prime }$互质，则$f(p^{\prime })$与$f(q^{\prime })$互质。”

可见，和前一个命题完全相同，但是$p^{\prime }$和$q^{\prime }$的数值严格减小了($max\{p^{\prime },q^{\prime }\}<p$)。反复运用上述证明过程，最终有$min\{p,q\}=1$。此时命题显然成立。

综上所述，除$x-y$外，$x^p-y^p$和$x^q-y^q$没有其他公因子，所以 $$gcd(x^p-y^p,x^q-y^q)=x-y$$ 成立，所以原命题成立。