1. 已知\(a>1\), \(m > n > 0\)，求证\(\gcd(a^m-1, a^n-1) = a^{\gcd(m,n)} - 1\)；
2. 已知\(a>b\), \(\gcd(a, b)=1\)，求证\(\gcd(a^m-b^m, a^n-b^n) = a^{\gcd(m,n)} - b^{\gcd(m,n)}\)。

仅就第2个命题给出证明，如下。

设\(m = pg, n = qg\)，其中\(g = \gcd(m,n)\)。易知\(p\)和\(q\)互质。设\(x=a^g, y=b^g\)，则显然\(x\)和\(y\)互质，且原命题的结论转化为

\[\gcd(x^p-y^p, x^q-y^q) = x-y\]

由等比级数公式 \[1+r+r^2+\cdots+r^N = {1-r^{N+1}\over 1-r}\] 可知 \[r^{N+1} - 1= (r-1)(r^N+r^{N-1}+\cdots+1)\]

若取\(r = x/y\), \(N=p-1\)，然后两边同乘以\(y^p\)，得 \[x^p - y^p = (x-y)(x^{p-1}+x^{p-2}y+\cdots+y^{p-1})\]

同理 \[x^q - y^q = (x-y)(x^{q-1}+x^{q-2}y+\cdots+y^{q-1})\]

由此可以看出，\(x^p - y^p\)和\(x^q - y^q\)具有公因子\(x-y\)。下面证明剩下的因子是互质的。

把形如\(x^{n-1}+x^{n-1}y+\cdots+y^{n-1}\)（即，\(\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-k-1} y^k\)，其中\(x\)和\(y\)互质）的式子记作\(f(n)\)，则需要证明如下命题：

“若\(p\)与\(q\)互质，则\(f(p)\)与\(f(q)\)互质。”

不妨设\(p > q\)，则

\[\eqalign{ f(p) &= x^{p-1} + x^{p-2}y + \cdots + x^{p-q}y^{q-1} + x^{p-q-1}y^q + \cdots + y^{p-1} \cr &= x^{p-q}\left(x^{q-1}+x^{q-2}y+\cdots+y^{q-1}\right) + \left(x^{p-q-1} + \cdots + y^{p-q-1}\right)y^q \cr &= x^{p-q} f(q) + f(p-q)y^q }\]

要证明\(f(p)\)和\(f(q)\)互质，只需证明\(f(q)\)和\(f(p-q)y^q\)互质。

首先，\(f(q)\)和\(y^q\)一定互质，这是因为\((x-y)f(q) = x^q-y^q\)和\(y^q\)互质，因为\(x\)和\(y\)互质。

于是，只需证明\(f(q)\)和\(f(p-q)\)互质即可。令\(p’=q\), \(q’=p-q\)，显然\(p’\)和\(q’\)是互质的。接下来需要证明的命题为

“若\(p’\)与\(q’\)互质，则\(f(p’)\)与\(f(q’)\)互质。”

可见，和前一个命题完全相同，但是\(p’\)和\(q’\)的数值严格减小了(\(\max\{p’,q’\} < p\))。反复运用上述证明过程，最终有\(\min\{p,q\}=1\)。此时命题显然成立。

综上所述，除\(x-y\)外，\(x^p-y^p\)和\(x^q-y^q\)没有其他公因子，所以 \[\gcd(x^p-y^p, x^q-y^q) = x-y\] 成立，所以原命题成立。