扑克中的概率论问题
前天下午打牌,触景生情想起了一个概率论的问题:3个人打一副扑克(A23456789 10 JQK各4张+大小王=54张牌),随机发牌,每人拿18张。设随机变量X表示三个手中的炸弹(指4张点数相同的牌)的总数,求X的分布律。
这样的问题理论上应该可以使用古典概型来求解。但是我想了一会之后就放弃了。为了对这个问题有一个大概的了解,我写了一段程序模拟洗牌和发牌的过程并且统计其中的炸弹个数。
从程序的输出中我得到了一个有趣的结果。下面是某一百万次试验中得到的统计结果:
685121
259261
49135
5935
520
28
0
从上到下依次是X=0,1,2……的频数。6个炸弹以上的情况没有出现。
下面是条形统计图,可见,随着炸弹数增加,频数迅速减小。概率最大的事件是没有炸弹。炸弹个数不超过1个的频率高达94%,这和我平时打牌的常识相符合。

对此数据稍加分析,就会得到有趣的结果。这学期我学了《概率论与数理统计》这门课程。对于离散型的随机变量,讲过好几种典型的分布。对于图中这种迅速下降的情况,看上去有点像泊松分布。那么,有没有可能是泊松分布呢?
假设X服从泊松分布,那么分布律是
根据已给出的样本,做出似然函数
取对数
求导
令导数等于0,可以解得参数的估计值
到此,我发现泊松分布的参数估计是一个非常简单的表达式,即炸弹个数的加权平均数。这个估计是有道理的,因为在泊松分布中,
代入数值得
将这个估计参数代入泊松分布的表达式,得到的分布律和统计数据非常吻合(特别是X较小的情况)。因为我没有学过分布拟合检验,所以现在没法检验这个分布的拟合程度。我用Excel随便算了一下,以供参考:
