高考数学填空题
又是一年高考日。今年江苏省的高考数学卷中，有一道填空题是这样的：
设向量\(\vec{a_k} = \left(\cos{k\pi\over6}, \cos{k\pi\over6} + \sin{k\pi\over6}\right)\)，则\[\sum_{k=0}^{11} \vec{a_k}\cdot\vec{a_{k+1}}={?}\]
这样的题似乎只需要你足够地胆大心细总是可以计算出来。
算术法
\begin{array}{r|rrr} k & \vec{a_k} & \vec{a_k}\cdot\vec{a_{k+1}} & \hbox{部分和} \cr 0 & \left( 1, 1\right) & {1\over2} + \sqrt3 & {1\over2} + \sqrt3 \cr 1 & \left( {\sqrt3\over2}, {1+\sqrt3\over2}\right) & 1 + {3\sqrt3\over4} & {3\over2} + { 7\sqrt3\over4} \cr 2 & \left( {1\over2}, {1+\sqrt3\over2}\right) & {1+\sqrt3\over2} & 2 + { 9\sqrt3\over4} \cr 3 & \left( 0, 1\right) & {-1+\sqrt3\over2} & {3\over2} + {11\sqrt3\over4} \cr 4 & \left( -{1\over2}, {-1+\sqrt3\over2}\right) & -1 + {3\sqrt3\over4} & {1\over2} + {14\sqrt3\over4} \cr 5 & \left(-{\sqrt3\over2}, {1-\sqrt3\over2}\right) & -{1\over2} + \sqrt3 & {18\sqrt3\over4} \cr 6 & \left( -1, -1\right) & {1\over2} + \sqrt3 & {1\over2} + {22\sqrt3\over4} \cr 7 & \left(-{\sqrt3\over2}, {-1-\sqrt3\over2}\right) & 1 + {3\sqrt3\over4} & {3\over2} + {25\sqrt3\over4} \cr 8 & \left( -{1\over2}, {-1-\sqrt3\over2}\right) & {1+\sqrt3\over2} & 2 + {27\sqrt3\over4} \cr 9 & \left( 0, -1\right) & {-1+\sqrt3\over2} & {3\over2} + {29\sqrt3\over4} \cr 10 & \left( {1\over2}, {1-\sqrt3\over2}\right) & -1 + {3\sqrt3\over4} & {1\over2} + {32\sqrt3\over4} \cr 11 & \left( {\sqrt3\over2}, {-1+\sqrt3\over2}\right) & -{1\over2} + \sqrt3 & {36\sqrt3\over4} \cr \end{array}
如果时间充裕，像上边这样列个表，一步一步计算，只要不算错，也用不了多少时间。这些算术运算，叫初中生也可以做，无非是加减乘除加上平方根罢了。
代数法
既然是一道高考题，我最好还是用高中的代数知识来解决它。
首先根据三角恒等变换的知识 \[\eqalign{ \cos x \cos y &= {1\over2}\left[\cos(x+y) + \cos(x-y)\right] \cr (\sin x + \cos x)(\sin y + \cos y) &= (\sin x \sin y + \cos x \cos y) + (\sin x \cos y + \cos x \sin y) \cr &= \cos(x-y) + \sin(x+y) }\] 不难得到 \[\eqalign{ \vec{a_k}\cdot\vec{a_{k+1}} &= \cos{k\pi\over6}\cos{(k+1)\pi\over6} + \left(\sin{k\pi\over6}+\cos{k\pi\over6}\right)\left[\sin{(k+1)\pi\over6}+\cos{(k+1)\pi\over6}\right] \cr &= {1\over2}\cos{(2k+1)\pi\over6} + {1\over2}\cos{-\pi\over6} + \cos{-\pi\over6} + \sin{(2k+1)\pi\over6} \cr &= {1\over2}\cos{(2k+1)\pi\over6} + \sin{(2k+1)\pi\over6} + {3\sqrt3\over4} \cr }\]
算到这里，聪明的人已经一眼能够看出来，正弦和余弦函数因为其参数的取值依次是\({\pi\over6}, {3\pi\over6}, {5\pi\over6}, \dots, {23\pi\over6}\)，在单位圆上恰好是对称出现的，所以求和以后一定相消。
如果看不出来，就要考虑：高中数学中，求数列的前\(n\)项和有多种方法，例如倒序相加法和错位相减法。倒序相加法的本质是重排求和项的顺序，让第一项和最后一项配对，第二项和倒数第二项配对……以便利用求和项的对称性。事实上，如果运用倒序相加法，则可以消去式中的正弦函数，但并不能消去余弦函数。三角函数除了具有对称性以外，还具有周期性，特别是\(\sin(x+\pi) = -\sin x\), \(\cos(x+\pi)=-\cos x\)这样的规律非常值得利用。所以可以考虑另外一种配对的方式。
如果设\(b_k = \vec{a_k}\cdot\vec{a_{k+1}}\)，运用上述性质，不难证明\[ b_k + b_{k+3} = {3\sqrt3\over2} \] 那么所求的和 \[\eqalign{ \sum_{k=0}^{11} b_k &= \sum_{k=0}^2 b_k + \sum_{k=3}^5 b_k + \sum_{k=6}^8 b_k + \sum_{k=9}^{11} b_k \cr &= \sum_{k=0}^2 (b_k + b_{k+3}) + \sum_{k=6}^8 (b_k + b_{k+3}) \cr &= 3\times{3\sqrt3\over2} + 3\times{3\sqrt3\over2} \cr &= 9\sqrt3 }\]
评论
不知道考生做这题是什么感觉。这个题目我暂时想不到更容易的办法。就我知道的两个做法而言，其实没什么意思，只不过是一些纯粹的计算而已。在计算机如此普及的时代，这样的计算工作不应该再让人手工完成。使用计算机代数系统(CAS)可以在眨眼之间求出结果，并不需要任何技巧。
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<p>TI-89 Titanium的计算结果</p>
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