周四将要进行《概率论与数理统计》的期末考试。为了表示纪念，研究一个和概率论相关的问题。

连续抛掷一枚硬币，直到出现连续的两个正面为止。问：抛掷次数的数学期望是多少？

假设抛掷了\(n\)枚硬币后，出现了连续的两个正面，抛掷过程终止。那么，把这\(n\)次的抛掷结果排列成一排，那么：

1. 前\(n-2\)枚硬币构成的序列中，一定不存在连续的两个正面，并且第\(n-2\)枚硬币是反面；
2. 最后两枚硬币都是正面。

把长度为\(k\)的、不存在连续两个正面、且最后一枚硬币是反面的序列称为\(F_k\)序列。那么，对于一个特定的\(k\)，\(F_k\)序列有多少种？（把这个数值也记作\(F_k\)。）这属于组合数学的问题，可以做如下考虑：

怎样构造一个\(F_k\)序列？有两种办法：

1. 找到一个\(F_{k-1}\)序列，在末尾增加一个反面；
2. 找到一个\(F_{k-2}\)序列，在末尾增加一个正面、一个反面。

不难看出，用上边两种办法，就可以不重、不漏地生成所有的\(F_k\)序列。根据分类计数原理，就可以得到一个递推公式 \[F_k=F_{k-1}+F_{k-2}.\] 边界条件是\(F_1=1,\,F_2=2\)。把数列逐项写出来是 \[1,2,3,5,8,\dots\]

设随机变量\(X\)=“停止抛掷时已经抛掷硬币的次数”，则其分布律为 \[P\{X=k\}={{F_{k-2}} \over 2^k}, \qquad k=2,3,4,\dots\]

式中，当\(k=2\)时，约定\(F_0=1\)。

数学期望 \[\mu=\sum_{k=2}^\infty k{F_{k-2} \over 2^k}.\]

这个问题的重要部分就是怎样对这个级数求和。使用生成函数不失为一种巧妙的做法，但是需要微积分的知识，运算稍显繁琐。

利用概率的归一性，可以让求解稍微简单些。归一性指的是\(X\)取所有可能取值的概率之和等于1： \[\sum_{k=2}^\infty P\{X=k\} = \sum_{k=2}^\infty {F_{k-2} \over 2^k}=1.\]

在概率论的语境下，这是显然的。但如果我们不知道这个求和式的概率论背景，那么也没法轻松地得出和等于1的结果。所以归一性在这里提供了隐含条件。

把归一性公式和数学期望的公式写成展开的形式 \[\eqalign{ \mu &= 2\times&{F_0\over2^2} + 3\times&{F_1\over2^3} + 4\times&{F_2\over2^4} + \cdots \cr 1 &= &{F_0\over2^2} + &{F_1\over2^3} + &{F_2\over2^4} + \cdots \cr }\]

两式相加得 \[\mu+1 = 3\times{F_0\over2^2} + 4\times{F_1\over2^3} + 5\times{F_2\over2^4} + \cdots\]

应用错位相减法，并且利用\(F_k\)的递推公式，可得 \[\eqalign{ \mu &= &2\times{F_0\over2^2} + &3\times{F_1\over2^3} + &4\times{F_2\over2^4} + &5\times{F_3\over2^5} + \cdots \cr {\mu+1\over2} &= &&3\times{F_0\over2^3} + &4\times{F_1\over2^4} + &5\times{F_2\over2^5} + \cdots}\] 两式相减得\[\eqalign{ {\mu-1\over2} &= 2\times{F_0\over2^2} + 4\times{F_0\over2^4} + 5\times{F_1\over2^5} + \cdots \cr &={1\over2} + {1\over4}\left[\left(2\times{F_0\over2^2}+3\times{F_1\over2^3}+\cdots\right)+2\left({F_0\over2^2}+{F_1\over2^3}+\cdots\right)\right] \cr &={1\over2} + {\mu+2\over4} }\]

由最后一个式子解得\(\mu=6\)。

后记

1. 这个做法不是最简单的。
2. 文章最后部分的5个等号，如果全部对齐，显示效果应该会更好。但是我不知道怎么把它们对齐。\(\rm \TeX book\)还应该多读一读。