《抽象代数》第十四章讲了代数中的一个核心概念：同态 (homomorphism)，指的是一个映射 \(f: G \to H, f(xy) = f(x)f(y)\)，和同构的区别是这里不要求双射。

《抽象代数》第十三章讲了群论中非常特别的概念：陪集 (coset)。群 G 的子群 H 中的所有元素和 G 中的某元素相乘，构成左陪集 aH = { ah : h ∈ H } 或右陪集 Ha = { ha : h ∈ H }。

陪集定义看似简单，却具备非常深刻的性质。著名的 Lagrange 定理¹：

有限群的阶一定是其子群的阶的倍数。 H ≤ G ⟹ ord(H) | ord(G).

描述的是子群和群的阶的关系。陪集是建立这种关系的桥梁。

《抽象代数》第十章讲了元素的阶。对群中元素 a，满足 aⁿ = e 的最小正整数称为元素 a 的阶。如果不存在这样的整数，则称 a 的阶为无穷。

阶的概念把群的任意元素和单位元通过一个正整数联系起来。因为单位元的特殊性，阶具备一些特殊性质。这些特殊性质很大程度上也依赖于正整数的数论性质。

《抽象代数》第九章讲了群的同构 (isomorphism)。群 (G,·) 和 (H,*) 同构则它们本质上是一样的，只有表面上的区别（元素名）。可以找到一个双射 f: G→H, f(x·y) = f(x)*f(y) 将它们对应起来。

《抽象代数》第八章讲了有限集合上的置换、轮换、对换的表示法，置换到轮换的分解，置换的奇偶性。

最近在阅读 Charles C. Pinter 的《抽象代数》。选做其中的一些习题。

第五章讲子群。设 (G,·) 是一个群， H ⊆ G 是 G 的子集。当 (H,·) 也是一个群时，则称 H 是 G 的子群（H ≤ G）。

也可用下述条件判定：

1. H 非空
2. ∀x₁,x₂ ∈ H, x₁·x₂ ∈ H （H 对乘法封闭）
3. ∀x ∈ H, x⁻¹ ∈ H （H 对逆元封闭）

这是《高等算术》习题系列的第二篇。 第二章讲了同余关系、同余方程、费马小定理、欧拉函数等。

最近在阅读 Harold Davenport 的《高等算术》。选做其中的一些习题加以巩固，并将解答记录在这里。凡是做了新的习题，只需更新这个页面。

第一章主要介绍了整数的一些运算性质、数学归纳法、整除、质数、唯一分解定理、欧几里得算法。

斑马问题是一个著名的逻辑推理题。流传甚广的“爱因斯坦谜题”的形式与之类似。据维基百科考证，出处为1962年的《生活》杂志。题目内容如下：

1. 有五栋房子。
2. 英国人住在红房子里。
3. 西班牙人养狗。
4. 绿房子里的人喝咖啡。
5. 乌克兰人喝茶。
6. 绿房子紧挨在象牙色房子的右边。
7. 抽Old Gold牌香烟的人养蜗牛。
8. 黄房子里的人抽Kools牌香烟。
9. 中间的房子里的人喝牛奶。
10. 挪威人住在第一间房子。
11. 抽Chesterfields牌香烟的人住在养狐狸的人的隔壁。
12. 抽Kools牌香烟的人住在养马的人的隔壁。
13. 抽Lucky Strike牌香烟的人喝橙汁。
14. 日本人抽Parliaments牌香烟。
15. 挪威人住在蓝色房子的隔壁。

问题是：谁喝水？谁养斑马？

“海内存知己，天涯若比邻。”信息技术使得后半句真正地成为了现实。人与人之间的联系不仅摆脱了空间的隔阂，在时间上也几乎没有障碍，此所谓“即时通讯”。

具体而言，即时通讯指的是一类特定的软件服务，这类服务允许用户注册账号，并在互联网上向其他账号发送信息。信息的接收方可以即时发表回应。你一言我一语，俗称“聊天”，因此即时通讯软件也被称为聊天软件。

即时通讯没有广为接受的标准化方案。现实情况是，由商业公司开发一套专有（proprietary）的解决方案，并免费地提供给用户使用。不同的服务提供商之间的用户不可以互相通讯。

这样的现状有很多缺点。首先，社交性质类软件，流行的主要条件并非技术上的优越性，而是用户基础。用户对服务提供商不具备选择权，只能被动地接受服务提供商的所谓“服务条款”以及隐私权政策，他们的权利便受到此类条款的限制。

使用这类即时通讯服务，不可避免地会有用户的隐私被传输至服务器端。服务提供商是否能够妥善处理，存在重大的疑问。极坏的情况，用户隐私可能会被出售。一般的情况，服务提供商有可能分析用户行为，并对其推送具备针对性的广告。再退一步，即使服务提供商完全合规运营，服务器也存在被入侵而导致数据泄露的隐患。这些问题，是专有解决方案集中化的本质决定的。