《抽象代数》第十六章是群论部分的最后一章。这一章讲了同态基本定理 (fundamental homomorphism theorem, FHT)。它把商群和同态两个概念联系起来：由任意正规子群 H 可以构造商群 G/H，从而构造从 G 到 G/H、以 H 为核的同态；反之亦然。

本章习题部分放进了许多补充内容，包括群论中的一些著名定理，如 Cauchy 定理、Sylow 定理等。这部分内容我没有看完，所以先只选做其中较简单的一部分习题。

• 2022-03-12：补充了 Cauchy 定理和 Sylow 定理的证明。

《抽象代数》第十五章讲商群 (quotient group)。当 H 是 G 的正规子群时，H 的所有陪集可以定义乘法运算 Ha·Hb = H(ab)，并且构成一个群，这就是商群 G/H。

一个例子是 ℤ/nℤ。它实际上就是（同构意义上）模 n 加法群或 n 阶循环群。这是因为 nℤ 的所有陪集的形式为 nℤ+r，把整数集按模 n 的余数划分为 n 个等价类，并且陪集之间的运算法则和模 n 加法是完全一致的。

《抽象代数》第十四章讲了代数中的一个核心概念：同态 (homomorphism)，指的是一个映射 \(f: G \to H, f(xy) = f(x)f(y)\)，和同构的区别是这里不要求双射。

《抽象代数》第十三章讲了群论中非常特别的概念：陪集 (coset)。群 G 的子群 H 中的所有元素和 G 中的某元素相乘，构成左陪集 aH = { ah : h ∈ H } 或右陪集 Ha = { ha : h ∈ H }。

陪集定义看似简单，却具备非常深刻的性质。著名的 Lagrange 定理¹：

有限群的阶一定是其子群的阶的倍数。 H ≤ G ⟹ ord(H) | ord(G).

描述的是子群和群的阶的关系。陪集是建立这种关系的桥梁。

《抽象代数》第十章讲了元素的阶。对群中元素 a，满足 aⁿ = e 的最小正整数称为元素 a 的阶。如果不存在这样的整数，则称 a 的阶为无穷。

阶的概念把群的任意元素和单位元通过一个正整数联系起来。因为单位元的特殊性，阶具备一些特殊性质。这些特殊性质很大程度上也依赖于正整数的数论性质。

《抽象代数》第九章讲了群的同构 (isomorphism)。群 (G,·) 和 (H,*) 同构则它们本质上是一样的，只有表面上的区别（元素名）。可以找到一个双射 f: G→H, f(x·y) = f(x)*f(y) 将它们对应起来。

《抽象代数》第八章讲了有限集合上的置换、轮换、对换的表示法，置换到轮换的分解，置换的奇偶性。

最近在阅读 Charles C. Pinter 的《抽象代数》。选做其中的一些习题。

第五章讲子群。设 (G,·) 是一个群， H ⊆ G 是 G 的子集。当 (H,·) 也是一个群时，则称 H 是 G 的子群（H ≤ G）。

也可用下述条件判定：

1. H 非空
2. ∀x₁,x₂ ∈ H, x₁·x₂ ∈ H （H 对乘法封闭）
3. ∀x ∈ H, x⁻¹ ∈ H （H 对逆元封闭）

这是《高等算术》习题系列的第二篇。 第二章讲了同余关系、同余方程、费马小定理、欧拉函数等。

最近在阅读 Harold Davenport 的《高等算术》。选做其中的一些习题加以巩固，并将解答记录在这里。凡是做了新的习题，只需更新这个页面。

第一章主要介绍了整数的一些运算性质、数学归纳法、整除、质数、唯一分解定理、欧几里得算法。