《抽象代数》第二十六章研究 F[x] 中将 x 代入具体数值，多项式作为函数时的行为。一个重要的结论是多项式的根与因式的关系：\[f(a) = 0 \iff (x-a) \mid f(x)\]这看上去是显然的。

特别地，这一章研究了几个常见的多项式环的可约性问题和求根问题：

• 给出了整系数多项式可能的有理根，以及在 ℚ 上不可约的 Eisenstein 判据。
• 给出了代数基本定理：不是常数的复系数多项式一定有复数根。进一步可知 ℂ[x] 中的多项式都可以分解为一次式的乘积；ℝ[x] 中的多项式都可以分解为一次式和不可约二次式的乘积。

《抽象代数》第二十五章研究多项式的因式分解。常见的多项式环 ℚ[x]、ℝ[x] 和 ℂ[x] 都可以放到一般的 F[x] 中研究，其中 F 是域。

和整数类似，域上的多项式也可以做带余除法：a(x) = b(x)q(x) + r(x)，其中 r(x)=0 或者 deg r(x) < deg b(x)。因此，F[x] 和整数环 ℤ 有很多类似的性质；它们属于同一类特殊的环，按特殊到一般的顺序列举如下：

• 可以做带余除法的整环是欧几里得整环 (Euclidean domain)，由此可以推出任意理想都由其中次数最小的元素生成，因此是主理想。
• 理想都是主理想的整环是主理想整环 (Principal ideal domain, PID)。主理想整环中可以推导出 Bézout 引理和欧几里得引理，进一步可以证明唯一分解定理。
• 唯一分解定理成立的整环是唯一分解整环 (Unique factorization domain, UFD)。

《抽象代数》第二十四章讲的是另一种常见的环：多项式环 (rings of polynomials)。环中的元素即初等代数研究的多项式 \[a(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n\] 其中，每一项的系数 \(a_i\) 都取自某个环 \(A\)。所有这样构成的多项式形成的环记作 \(A[x]\)。当 \(A\) 是含单位元的交换环（或整环）时，\(A[x]\) 也是含单位元的交换环（或整环）；当 \(A\) 是域时，\(A[x]\) 总是可以做多项式除法。

可以从另一个角度看待多项式：向环 \(A\) 中引入新元素，构成一个新环。例如 \(\newcommand\Z{\mathbb Z}\Z[i]=\{a+b\sqrt{-1} : a,b\in\Z\}\) 包含了所有的所谓 Gauss 整数；这是通过向整数环引入虚数单位 \(\sqrt{-1}\) 得到的。

《抽象代数》第二十一章到第二十三章主要研究整数的性质，因此和初等数论有比较大的重叠。我把它们的习题放在同一篇。

• 第二十一章 – 整数
• 第二十二章 – 分解质因数
• 第二十三章 – 数论基础

《抽象代数》第二十章讲的是一类特殊的环：它满足乘法交换律，含有单位元，并且消去律成立。这样的环称为整环 (integral domain)。

整数集合 ℤ 就构成整环。整环的很多性质与整数的性质类似。模素数 p 的环 ℤ_p 也是有限整环。事实上，它也是域；有限整环都是域。

《抽象代数》第十九章讲了环论中的几个概念：

• 陪集、商环和同态基本定理。它们和群论中的概念都是相对应的，只是额外涉及到了乘法运算。
• 素理想 (prime ideal) 和极大理想 (maximal ideal)。这些概念在群论的章节中没有讨论过。

《抽象代数》第十八章讲的几个概念和群论中的概念相对应：

• 子群 ↔ 子环
• 正规子群 ↔ 理想 (ideal)
• 群同态 ↔ 环同态

《抽象代数》第十七章讲的是群之后的新代数结构：环 (ring)。基本的环由 2 部分构成：

• 交换加群（以加法为运算的 Abel 群）
• 乘法运算（必须满足结合律和分配律）

在此基础上，可以乘法运算叠加一些可选项：交换律、单位元、消去律、逆元。具备所有上述各项的称为域 (field)。

环刻画了一些可以进行计算的对象的性质（例如：整数、矩阵、多项式）。常见的数集 \(\mathbb{Z\subset Q\subset R\subset C}\) 都是环，并且除了 \(\mathbb Z\) 外都是域。此外，\(\mathbb Z_n\) 和模 n 加法/乘法构成含单位元的交换环。因此，可以用环的理论去研究它们。

《抽象代数》第十六章是群论部分的最后一章。这一章讲了同态基本定理 (fundamental homomorphism theorem, FHT)。它把商群和同态两个概念联系起来：由任意正规子群 H 可以构造商群 G/H，从而构造从 G 到 G/H、以 H 为核的同态；反之亦然。

本章习题部分放进了许多补充内容，包括群论中的一些著名定理，如 Cauchy 定理、Sylow 定理等。这部分内容我没有看完，所以先只选做其中较简单的一部分习题。

• 2022-03-12：补充了 Cauchy 定理和 Sylow 定理的证明。

《抽象代数》第十五章讲商群 (quotient group)。当 H 是 G 的正规子群时，H 的所有陪集可以定义乘法运算 Ha·Hb = H(ab)，并且构成一个群，这就是商群 G/H。

一个例子是 ℤ/nℤ。它实际上就是（同构意义上）模 n 加法群或 n 阶循环群。这是因为 nℤ 的所有陪集的形式为 nℤ+r，把整数集按模 n 的余数划分为 n 个等价类，并且陪集之间的运算法则和模 n 加法是完全一致的。