《抽象代数》第二十章讲的是一类特殊的环：它满足乘法交换律，含有单位元，并且消去律成立。这样的环称为整环 (integral domain)。

整数集合 ℤ 就构成整环。整环的很多性质与整数的性质类似。模素数 p 的环 ℤ_p 也是有限整环。事实上，它也是域；有限整环都是域。

《抽象代数》第十九章讲了环论中的几个概念：

• 陪集、商环和同态基本定理。它们和群论中的概念都是相对应的，只是额外涉及到了乘法运算。
• 素理想 (prime ideal) 和极大理想 (maximal ideal)。这些概念在群论的章节中没有讨论过。

《抽象代数》第十八章讲的几个概念和群论中的概念相对应：

• 子群 ↔ 子环
• 正规子群 ↔ 理想 (ideal)
• 群同态 ↔ 环同态

《抽象代数》第十七章讲的是群之后的新代数结构：环 (ring)。基本的环由 2 部分构成：

• 交换加群（以加法为运算的 Abel 群）
• 乘法运算（必须满足结合律和分配律）

在此基础上，可以乘法运算叠加一些可选项：交换律、单位元、消去律、逆元。具备所有上述各项的称为域 (field)。

环刻画了一些可以进行计算的对象的性质（例如：整数、矩阵、多项式）。常见的数集 $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$ 都是环，并且除了 $\mathbb{Z}$ 外都是域。此外，${\mathbb{Z}}_n$ 和模 n 加法/乘法构成含单位元的交换环。因此，可以用环的理论去研究它们。

《抽象代数》第十六章是群论部分的最后一章。这一章讲了同态基本定理 (fundamental homomorphism theorem, FHT)。它把商群和同态两个概念联系起来：由任意正规子群 H 可以构造商群 G/H，从而构造从 G 到 G/H、以 H 为核的同态；反之亦然。

本章习题部分放进了许多补充内容，包括群论中的一些著名定理，如 Cauchy 定理、Sylow 定理等。这部分内容我没有看完，所以先只选做其中较简单的一部分习题。

• 2022-03-12：补充了 Cauchy 定理和 Sylow 定理的证明。

《抽象代数》第十五章讲商群 (quotient group)。当 H 是 G 的正规子群时，H 的所有陪集可以定义乘法运算 Ha·Hb = H(ab)，并且构成一个群，这就是商群 G/H。

一个例子是 ℤ/nℤ。它实际上就是（同构意义上）模 n 加法群或 n 阶循环群。这是因为 nℤ 的所有陪集的形式为 nℤ+r，把整数集按模 n 的余数划分为 n 个等价类，并且陪集之间的运算法则和模 n 加法是完全一致的。

《抽象代数》第十四章讲了代数中的一个核心概念：同态 (homomorphism)，指的是一个映射 $f:G\to H,f(xy)=f(x)f(y)$，和同构的区别是这里不要求双射。

《抽象代数》第十三章讲了群论中非常特别的概念：陪集 (coset)。群 G 的子群 H 中的所有元素和 G 中的某元素相乘，构成左陪集 aH = { ah : h ∈ H } 或右陪集 Ha = { ha : h ∈ H }。

陪集定义看似简单，却具备非常深刻的性质。著名的 Lagrange 定理¹：

有限群的阶一定是其子群的阶的倍数。 H ≤ G ⟹ ord(H) | ord(G).

描述的是子群和群的阶的关系。陪集是建立这种关系的桥梁。

《抽象代数》第十章讲了元素的阶。对群中元素 a，满足 aⁿ = e 的最小正整数称为元素 a 的阶。如果不存在这样的整数，则称 a 的阶为无穷。

阶的概念把群的任意元素和单位元通过一个正整数联系起来。因为单位元的特殊性，阶具备一些特殊性质。这些特殊性质很大程度上也依赖于正整数的数论性质。

《抽象代数》第九章讲了群的同构 (isomorphism)。群 (G,·) 和 (H,*) 同构则它们本质上是一样的，只有表面上的区别（元素名）。可以找到一个双射 f: G→H, f(x·y) = f(x)*f(y) 将它们对应起来。