《抽象代数》第二十八章讲的是向量空间的基础知识。本书对读者（比如我）的基础知识要求不高，专门用了一个章节讨论这些通常在线性代数课中应已涵盖的内容。在后续的章节中，常会把用域 F 中的元素视为数，扩域 K 中的元素视为“向量”，使他们构成一个向量空间，然后用向量空间的性质证明一些结论。

《抽象代数》第二十七章讲的是域扩张 (extension of fields)。F[x] 中的多项式在 F 中不一定有根，但是，在比 F 更大的域 K 中可以有根。在初等数学中就有这样的例子：x²-2 和 x²+1 都是 ℚ[x] 中的多项式，但是它们的根分别在扩域 ℝ 和 ℂ 中。

本章研究了代数元、多项式和域扩张之间的联系。

• 凡是能作为 F[x] 中某个多项式的根的元素就是 F 的代数元 (algebraic)；否则是超越元 (transcendental)。
• F 的任意代数元 a 都对应 F[x] 中的一个最小多项式 (minimum polynomial) p(x)，使得 a 是 p(x) 的根。
• 对于 F[x] 中的任意多项式 p(x)，总能找到适当的扩张 K ⊇ F，使得 p(x) 在 K 中有根。这就是域扩张基本定理。

《抽象代数》第二十六章研究 F[x] 中将 x 代入具体数值，多项式作为函数时的行为。一个重要的结论是多项式的根与因式的关系：\[f(a) = 0 \iff (x-a) \mid f(x)\]这看上去是显然的。

特别地，这一章研究了几个常见的多项式环的可约性问题和求根问题：

• 给出了整系数多项式可能的有理根，以及在 ℚ 上不可约的 Eisenstein 判据。
• 给出了代数基本定理：不是常数的复系数多项式一定有复数根。进一步可知 ℂ[x] 中的多项式都可以分解为一次式的乘积；ℝ[x] 中的多项式都可以分解为一次式和不可约二次式的乘积。

《抽象代数》第二十五章研究多项式的因式分解。常见的多项式环 ℚ[x]、ℝ[x] 和 ℂ[x] 都可以放到一般的 F[x] 中研究，其中 F 是域。

和整数类似，域上的多项式也可以做带余除法：a(x) = b(x)q(x) + r(x)，其中 r(x)=0 或者 deg r(x) < deg b(x)。因此，F[x] 和整数环 ℤ 有很多类似的性质；它们属于同一类特殊的环，按特殊到一般的顺序列举如下：

• 可以做带余除法的整环是欧几里得整环 (Euclidean domain)，由此可以推出任意理想都由其中次数最小的元素生成，因此是主理想。
• 理想都是主理想的整环是主理想整环 (Principal ideal domain, PID)。主理想整环中可以推导出 Bézout 引理和欧几里得引理，进一步可以证明唯一分解定理。
• 唯一分解定理成立的整环是唯一分解整环 (Unique factorization domain, UFD)。

《抽象代数》第二十四章讲的是另一种常见的环：多项式环 (rings of polynomials)。环中的元素即初等代数研究的多项式 \[a(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n\] 其中，每一项的系数 \(a_i\) 都取自某个环 \(A\)。所有这样构成的多项式形成的环记作 \(A[x]\)。当 \(A\) 是含单位元的交换环（或整环）时，\(A[x]\) 也是含单位元的交换环（或整环）；当 \(A\) 是域时，\(A[x]\) 总是可以做多项式除法。

可以从另一个角度看待多项式：向环 \(A\) 中引入新元素，构成一个新环。例如 \(\newcommand\Z{\mathbb Z}\Z[i]=\{a+b\sqrt{-1} : a,b\in\Z\}\) 包含了所有的所谓 Gauss 整数；这是通过向整数环引入虚数单位 \(\sqrt{-1}\) 得到的。

《抽象代数》第二十一章到第二十三章主要研究整数的性质，因此和初等数论有比较大的重叠。我把它们的习题放在同一篇。

• 第二十一章 – 整数
• 第二十二章 – 分解质因数
• 第二十三章 – 数论基础

《抽象代数》第二十章讲的是一类特殊的环：它满足乘法交换律，含有单位元，并且消去律成立。这样的环称为整环 (integral domain)。

整数集合 ℤ 就构成整环。整环的很多性质与整数的性质类似。模素数 p 的环 ℤ_p 也是有限整环。事实上，它也是域；有限整环都是域。

《抽象代数》第十九章讲了环论中的几个概念：

• 陪集、商环和同态基本定理。它们和群论中的概念都是相对应的，只是额外涉及到了乘法运算。
• 素理想 (prime ideal) 和极大理想 (maximal ideal)。这些概念在群论的章节中没有讨论过。

《抽象代数》第十八章讲的几个概念和群论中的概念相对应：

• 子群 ↔ 子环
• 正规子群 ↔ 理想 (ideal)
• 群同态 ↔ 环同态

《抽象代数》第十七章讲的是群之后的新代数结构：环 (ring)。基本的环由 2 部分构成：

• 交换加群（以加法为运算的 Abel 群）
• 乘法运算（必须满足结合律和分配律）

在此基础上，可以乘法运算叠加一些可选项：交换律、单位元、消去律、逆元。具备所有上述各项的称为域 (field)。

环刻画了一些可以进行计算的对象的性质（例如：整数、矩阵、多项式）。常见的数集 \(\mathbb{Z\subset Q\subset R\subset C}\) 都是环，并且除了 \(\mathbb Z\) 外都是域。此外，\(\mathbb Z_n\) 和模 n 加法/乘法构成含单位元的交换环。因此，可以用环的理论去研究它们。