这是《抽象代数》的最终章。至此，终于能够解答第一章提出的问题：五次方程是否存在求根公式？ 使用 Galois 理论可以一般地回答代数方程的根式可解性问题。

设多项式 p(x) ∈ F[x]，那么代数方程 p(x) = 0 根式可解意味着 x 可以由 F 中的元素经过有限次加、减、乘、除和开方运算表示。这等于说方程的根在 F 经过有限次根式扩张 (radical extension) 得到的数域中，通过 Galois 对应可以得到相应的 Galois 群是可解群 (solvable group)。通过证明存在五次方程具有不可解的 Galois 群，就证明了它不存在根式解；于是，五次方程一般的求根公式也就不存在。

《抽象代数》第三十二章讲的是 Galois 理论的核心内容。设 K 是 F 的分裂域，Galois 群是所有 K→K 且固定 F 的同构构成的群（群的运算为映射的复合），记作 Gal(K:F)。Galois 理论的关键内容是，K 和 F 的所有中间域 I (即 K⊆I⊆F) 和 Gal(K:F) 中的子群有着一一对应的关系。

《抽象代数》的第三十一章讨论了一些零散的知识，为后续章节讨论 Galois 理论做铺垫。本章定义的新概念是分裂域（splitting field；书中称为 root field），它是包含某个多项式 p(x) 的所有根的最小域。

《抽象代数》第三十章讨论了抽象代数的一个应用。古希腊三大几何难题——三等分角、立方倍积、化圆为方——在尺规作图的框架下的不可行性，用域扩张的理论可以得到优雅的证明。

《抽象代数》第二十九章利用前一章的向量空间知识定义了一个重要概念：域扩张的次数。在有限扩域的情况下，域扩张的次数就是最小多项式的次数。例如，复数域 ℂ=ℝ(i) 是实数域 ℝ 的二次扩域（记作 [ℂ : ℝ] = 2），因为 i 的最小多项式是 x²+1。

本章的另一个重要结论是对于嵌套的有限扩域 F ⊆ K ⊆ E，有 [E : F] = [E : K][K : F]，这在形式上和群论中子群的指数的关系很类似。

《抽象代数》第二十八章讲的是向量空间的基础知识。本书对读者（比如我）的基础知识要求不高，专门用了一个章节讨论这些通常在线性代数课中应已涵盖的内容。在后续的章节中，常会把用域 F 中的元素视为数，扩域 K 中的元素视为“向量”，使他们构成一个向量空间，然后用向量空间的性质证明一些结论。

《抽象代数》第二十七章讲的是域扩张 (extension of fields)。F[x] 中的多项式在 F 中不一定有根，但是，在比 F 更大的域 K 中可以有根。在初等数学中就有这样的例子：x²-2 和 x²+1 都是 ℚ[x] 中的多项式，但是它们的根分别在扩域 ℝ 和 ℂ 中。

本章研究了代数元、多项式和域扩张之间的联系。

• 凡是能作为 F[x] 中某个多项式的根的元素就是 F 的代数元 (algebraic)；否则是超越元 (transcendental)。
• F 的任意代数元 a 都对应 F[x] 中的一个最小多项式 (minimum polynomial) p(x)，使得 a 是 p(x) 的根。
• 对于 F[x] 中的任意多项式 p(x)，总能找到适当的扩张 K ⊇ F，使得 p(x) 在 K 中有根。这就是域扩张基本定理。

《抽象代数》第二十六章研究 F[x] 中将 x 代入具体数值，多项式作为函数时的行为。一个重要的结论是多项式的根与因式的关系：\[f(a) = 0 \iff (x-a) \mid f(x)\]这看上去是显然的。

特别地，这一章研究了几个常见的多项式环的可约性问题和求根问题：

• 给出了整系数多项式可能的有理根，以及在 ℚ 上不可约的 Eisenstein 判据。
• 给出了代数基本定理：不是常数的复系数多项式一定有复数根。进一步可知 ℂ[x] 中的多项式都可以分解为一次式的乘积；ℝ[x] 中的多项式都可以分解为一次式和不可约二次式的乘积。

《抽象代数》第二十五章研究多项式的因式分解。常见的多项式环 ℚ[x]、ℝ[x] 和 ℂ[x] 都可以放到一般的 F[x] 中研究，其中 F 是域。

和整数类似，域上的多项式也可以做带余除法：a(x) = b(x)q(x) + r(x)，其中 r(x)=0 或者 deg r(x) < deg b(x)。因此，F[x] 和整数环 ℤ 有很多类似的性质；它们属于同一类特殊的环，按特殊到一般的顺序列举如下：

• 可以做带余除法的整环是欧几里得整环 (Euclidean domain)，由此可以推出任意理想都由其中次数最小的元素生成，因此是主理想。
• 理想都是主理想的整环是主理想整环 (Principal ideal domain, PID)。主理想整环中可以推导出 Bézout 引理和欧几里得引理，进一步可以证明唯一分解定理。
• 唯一分解定理成立的整环是唯一分解整环 (Unique factorization domain, UFD)。

《抽象代数》第二十四章讲的是另一种常见的环：多项式环 (rings of polynomials)。环中的元素即初等代数研究的多项式 \[a(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n\] 其中，每一项的系数 \(a_i\) 都取自某个环 \(A\)。所有这样构成的多项式形成的环记作 \(A[x]\)。当 \(A\) 是含单位元的交换环（或整环）时，\(A[x]\) 也是含单位元的交换环（或整环）；当 \(A\) 是域时，\(A[x]\) 总是可以做多项式除法。

可以从另一个角度看待多项式：向环 \(A\) 中引入新元素，构成一个新环。例如 \(\newcommand\Z{\mathbb Z}\Z[i]=\{a+b\sqrt{-1} : a,b\in\Z\}\) 包含了所有的所谓 Gauss 整数；这是通过向整数环引入虚数单位 \(\sqrt{-1}\) 得到的。