微控制器 (MCU) 也叫单片机，指把处理器、内存、各种外设集成在一块芯片内的计算机。现在的个人计算机的数据总线宽度已经达到64位，而微控制器一般还停留在8/16/32位。可见，微控制器的功能相对有限，但对于一些简单的控制系统来说已经足够。由于微控制器价格低廉、简单易用，它也常常被用在一些业余硬件项目中。

这个系列将要讨论的是8位微控制器，属于微控制器中的底层。常见的8位微控制器有：

《高等算术》第六章主要研究二元二次型 ax²+bxy+cy² 的理论。这一章主要研究了等价二次型、正定二次型的约化等价形式，以及二次型的表示问题（这是二平方和问题的推广）。

《高等算术》第五章研究将自然数表示为平方和的方法，讨论了三种情况：

• 二平方和：所有形如 4k+3 的质因子的次数必须为偶数（可以是 0）；
• 四平方和：任意自然数都可以表示为四平方和；
• 三平方和：除了形如 4^l(8k+7) 外的自然数都可以表示为三平方和（未给出证明）。

对于二平方和问题，书中给出了若干构造方法。

《高等算术》第四章讲了连分式。有理数（无理数）总可以表示为有限（无限）长的连分式。满足一定限制条件的情况下，这种表示是唯一的。截取连分式的前若干个数，得到的分数称为渐进 (convergent)，渐进总是交替地大于和小于目标数，并最终收敛到目标数。

一个有趣的现象是：二次代数数¹的连分式总是循环的。这个性质进一步可以用于求解 Pell 方程 \[x^2-Ny^2=1\] 它的解是 \(\sqrt N\) 的（循环）连分式的某些渐进的分子和分母。

一点题外话：连分式在初等数论之外也有应用。例如可以证明 π 和 e 的连分式是无限长的，因此它们是无理数。

继续阅读 Davenport 的《高等算术》的第三章。这一章讲了原根、二次剩余和二次互反律。这些内容在 Pinter 的《抽象代数》第二十三章也略有涉及。本章提到了欧拉准则、高斯引理，并给出了二次互反律的证明。

这是《抽象代数》的最终章。至此，终于能够解答第一章提出的问题：五次方程是否存在求根公式？ 使用 Galois 理论可以一般地回答代数方程的根式可解性问题。

设多项式 p(x) ∈ F[x]，那么代数方程 p(x) = 0 根式可解意味着 x 可以由 F 中的元素经过有限次加、减、乘、除和开方运算表示。这等于说方程的根在 F 经过有限次根式扩张 (radical extension) 得到的数域中，通过 Galois 对应可以得到相应的 Galois 群是可解群 (solvable group)。通过证明存在五次方程具有不可解的 Galois 群，就证明了它不存在根式解；于是，五次方程一般的求根公式也就不存在。

《抽象代数》第三十二章讲的是 Galois 理论的核心内容。设 K 是 F 的分裂域，Galois 群是所有 K→K 且固定 F 的同构构成的群（群的运算为映射的复合），记作 Gal(K:F)。Galois 理论的关键内容是，K 和 F 的所有中间域 I (即 K⊆I⊆F) 和 Gal(K:F) 中的子群有着一一对应的关系。

《抽象代数》的第三十一章讨论了一些零散的知识，为后续章节讨论 Galois 理论做铺垫。本章定义的新概念是分裂域（splitting field；书中称为 root field），它是包含某个多项式 p(x) 的所有根的最小域。

《抽象代数》第三十章讨论了抽象代数的一个应用。古希腊三大几何难题——三等分角、立方倍积、化圆为方——在尺规作图的框架下的不可行性，用域扩张的理论可以得到优雅的证明。

《抽象代数》第二十九章利用前一章的向量空间知识定义了一个重要概念：域扩张的次数。在有限扩域的情况下，域扩张的次数就是最小多项式的次数。例如，复数域 ℂ=ℝ(i) 是实数域 ℝ 的二次扩域（记作 [ℂ : ℝ] = 2），因为 i 的最小多项式是 x²+1。

本章的另一个重要结论是对于嵌套的有限扩域 F ⊆ K ⊆ E，有 [E : F] = [E : K][K : F]，这在形式上和群论中子群的指数的关系很类似。