N体问题是指找出已知初始位置、速度和质量的多个物体在经典力学情况下的后续运动。 这个问题虽然在数学上还没有满意的解答(N≥3时)，却比较容易用数值计算进行模拟。简单来说就是把时间离散化，在每一时刻，根据物体的受力和速度来确定速度和位置的变化量。
这个问题常用来做基准测试，因为它涉及大量浮点数运算和大量的循环步骤（模拟长时间的运动）。
想起这个测试是因为我正在看Zig语言的文档，发现它原生支持向量运算。例如，我可以定义含有3个分量的向量：
const Vec3 = @Vector(3, f64);
并对它们进行四则运算。
继续阅读 →迂腐的文人常拿没有用的知识当学问，比如“回字有几种写法？”这种问题，对于现代人来说，除非博闻强记，否则实在难以回答。最近几年，人工智能 (AI) 特别是大语言模型 (LLM) 的快速发展，给我们带来了了解各种冷门小知识的新办法。
两年前的人工智能回答这些问题时或许大多是胡编乱造（所谓“幻觉”），但现在它们已经可以给出相当可靠的回答了。看来，靠人脑记忆这些没用的小知识更加没有价值了，即便是拿来炫耀——对方只要问一下AI，就能得到解答，没你什么事了。
有一类“问答网站”，用户发帖提问，其他用户回答，大家一起互动，传播知识。这曾经是学习各种小知识的好地方，但我想他们以后逐渐会被AI代替了吧？也许在情感类或者社会学类的问题上还能坚持一段时间。
但是，归根结底，AI的知识也是靠训练获得的，其中大部分内容大概是来自于互联网？如果以后大家都用AI来做问答，没有人输出新知识的话，AI又怎么进步呢？（也许这个问题本身可以拿来问AI，看看它们会怎么回答）。
继续阅读 →（按：以下皆由 Gemini 2.5 Pro 生成。）
余从业代码之事久矣。所谓码积如山，会海滔滔者，诚非虚言也。日则伏案疾书，夜则寻瑕索瘢1。星月为伴，灯火为朋。偶有所成，不过千行之码；顷刻对接，动辄百口2之端。殚精竭虑，寒暑不辍，而发顶日稀，镜中之影，已非少年。
然上官者，不明技艺之精微，不明架构之肯綮3，徒好高谈阔论，口若悬河，唯“新潮”是尚。或朝令而夕改，或纸上而谈兵，吾辈下属，唯唯诺诺，言听计从，实则苦不堪言。指鹿为马，尤令人啼笑皆非。
长此以往，身心俱疲，志气渐磨。与其在此耗神，不如归去！人生几何？韶华易逝，岂能久困于此方寸屏幕之间，受此无谓之煎熬乎？
遂决意挂印而去。临行之际，将最终之稿，入库封存。回望此鏖战数载之所，百感交集，既有怅然，亦有释怀。拂袖转身，顿感体轻，前路纵有未知，亦胜于此无望之内耗也。
此中滋味，非亲历者不能知。唯作俚语小诗一首，聊以自嘲，亦以志今日之决绝也。诗曰：
码积如山会海滔，
纠错常致发际高。
千行代码半天搞，
百个接口随意调。
不懂技术瞎指导，
张口闭口新风潮。
代码入库呈终稿，
键盘鼠标皆可抛！
我上高中的时候曾经自己总结出了一个不等式： \[\frac{a^{n+1}}{c^n}+\frac{b^{n+1}}{d^n} \geq \frac{(a+b)^{n+1}}{(c+d)^n}\] 其中\(a,b,c,d>0\)，且\(n\)为正整数。取等号的充分必要条件是\(\frac a c = \frac b d\)。
当时发现有若干问题，采用这个不等式可以迅速得到答案，比使用导数求极值的方法少了许多计算量。我自己琢磨了一阵子，终于证明了这个不等式，并记录在了自己的笔记本上。我以为我发现了什么了不起的结论。今天才知道，其实它叫权方和不等式，早就有人研究过了。而我在整个高中从未听说过它。
我的笔记本也早已丢失。这两天沿着之前的思路重新证明了一遍。
继续阅读 →2015 年的时候，我设置了 Wercker 工作流。每次本站的源代码仓库更新时，Wercker 的工作流会自动做两件事：1) 由 Markdown 源码构建静态网站；2) 发布到 github.io 上去。
时过境迁，Wercker 从某一年开始被 Oracle 收购了，直到去年的某个时候，我的工作流似乎不再工作了。wercker.com 现在会自动重定向到 Oracle Cloud 的网站；我甚至没法登录原来的 Wercker 账号。因此我需要找新的方法。
Github 在这些年也改变了很多，新增加的 Github Actions 功能在我看来就是一个抄袭了 Wercker 的功能。由于跟 Github 整合的更好，想必拉拢到了不少的用户群（拥有用户群的平台就是可以占便宜推广自家产品）。我也把自动构建的工作流迁移到了 Github Actions。
继续阅读 →长期以来， Go 语言缺乏泛型 (Generics) 的支持。曾经有人认为在 Go 2.0 问世前都不会支持泛型。我很久没有关注 Go 语言的动态了（最后一次写的 Go 项目还没有用 module 机制），今天才发现一年前的 Go 1.18 就已经增加了泛型。
简单地说，泛型可以将同一段代码作用在多种数据类型上。C++ 里的模板 (template) 就是一种泛型编程的方式。下面的 max 函数返回两个参数中较大的那个。不论 a b 是什么类型，只要支持 < 运算符，就可以用这个函数。
template <typename T>
T max(T a, T b) {
return a < b ? b : a;
}
// max(1, 2) == 2
// max(2.5, 3.1) == 3.1
在 Go 中，一直没有比较好的方法实现这个效果。像 max 这种简单的函数，一般可以用的时候现场写一个，只是不太方便。
现在，可以在 Go 写一个泛型函数来实现：
import "golang.org/x/exp/constraints"
func max[T constraints.Ordered] (a, b T) T {
if a < b {
return b
}
return a
}
// max(1, 2) == 2
// max(2.5, 3.1) == 3.1
// max("abc", "def") == "def"
constraints.Ordered 包括有能比大小的类型（数值类型和字符串）。目前为止，constraints 还没有正式加入标准库中，只能从 golang.org/x/exp 这个实验性质的 module 中获取。
这一篇研究怎样使用PIC控制彩色LED。
彩色LED可以使用4引脚的RGB共阴发光二极管。 阴极接Vss，RGB三个阳极经过限流电阻分别接三个GPIO引脚。PIC的GPIO可以输出25mA电流，足够直接驱动LED，无需额外的晶体管。
继续阅读 →微控制器 (MCU) 也叫单片机，指把处理器、内存、各种外设集成在一块芯片内的计算机。现在的个人计算机的数据总线宽度已经达到64位，而微控制器一般还停留在8/16/32位。可见，微控制器的功能相对有限，但对于一些简单的控制系统来说已经足够。由于微控制器价格低廉、简单易用，它也常常被用在一些业余硬件项目中。
这个系列将要讨论的是8位微控制器，属于微控制器中的底层。常见的8位微控制器有：
继续阅读 →《高等算术》第六章主要研究二元二次型 ax²+bxy+cy² 的理论。这一章主要研究了等价二次型、正定二次型的约化等价形式，以及二次型的表示问题（这是二平方和问题的推广）。
继续阅读 →《高等算术》第五章研究将自然数表示为平方和的方法，讨论了三种情况：
对于二平方和问题，书中给出了若干构造方法。
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