我上高中的时候曾经自己总结出了一个不等式： \[\frac{a^{n+1}}{c^n}+\frac{b^{n+1}}{d^n} \geq \frac{(a+b)^{n+1}}{(c+d)^n}\] 其中\(a,b,c,d>0\)，且\(n\)为正整数。取等号的充分必要条件是\(\frac a c = \frac b d\)。
当时发现有若干问题，采用这个不等式可以迅速得到答案，比使用导数求极值的方法少了许多计算量。我自己琢磨了一阵子，终于证明了这个不等式，并记录在了自己的笔记本上。我以为我发现了什么了不起的结论。今天才知道，其实它叫权方和不等式，早就有人研究过了。而我在整个高中从未听说过它。
我的笔记本也早已丢失。这两天沿着之前的思路重新证明了一遍。
继续阅读 →2015 年的时候，我设置了 Wercker 工作流。每次本站的源代码仓库更新时，Wercker 的工作流会自动做两件事：1) 由 Markdown 源码构建静态网站；2) 发布到 github.io 上去。
时过境迁，Wercker 从某一年开始被 Oracle 收购了，直到去年的某个时候，我的工作流似乎不再工作了。wercker.com 现在会自动重定向到 Oracle Cloud 的网站；我甚至没法登录原来的 Wercker 账号。因此我需要找新的方法。
Github 在这些年也改变了很多，新增加的 Github Actions 功能在我看来就是一个抄袭了 Wercker 的功能。由于跟 Github 整合的更好，想必拉拢到了不少的用户群（拥有用户群的平台就是可以占便宜推广自家产品）。我也把自动构建的工作流迁移到了 Github Actions。
继续阅读 →长期以来， Go 语言缺乏泛型 (Generics) 的支持。曾经有人认为在 Go 2.0 问世前都不会支持泛型。我很久没有关注 Go 语言的动态了（最后一次写的 Go 项目还没有用 module 机制），今天才发现一年前的 Go 1.18 就已经增加了泛型。
简单地说，泛型可以将同一段代码作用在多种数据类型上。C++ 里的模板 (template) 就是一种泛型编程的方式。下面的 max 函数返回两个参数中较大的那个。不论 a b 是什么类型，只要支持 < 运算符，就可以用这个函数。
template <typename T>
T max(T a, T b) {
return a < b ? b : a;
}
// max(1, 2) == 2
// max(2.5, 3.1) == 3.1
在 Go 中，一直没有比较好的方法实现这个效果。像 max 这种简单的函数，一般可以用的时候现场写一个，只是不太方便。
现在，可以在 Go 写一个泛型函数来实现：
import "golang.org/x/exp/constraints"
func max[T constraints.Ordered] (a, b T) T {
if a < b {
return b
}
return a
}
// max(1, 2) == 2
// max(2.5, 3.1) == 3.1
// max("abc", "def") == "def"
constraints.Ordered 包括有能比大小的类型（数值类型和字符串）。目前为止，constraints 还没有正式加入标准库中，只能从 golang.org/x/exp 这个实验性质的 module 中获取。
这一篇研究怎样使用PIC控制彩色LED。
彩色LED可以使用4引脚的RGB共阴发光二极管。 阴极接Vss，RGB三个阳极经过限流电阻分别接三个GPIO引脚。PIC的GPIO可以输出25mA电流，足够直接驱动LED，无需额外的晶体管。
继续阅读 →微控制器 (MCU) 也叫单片机，指把处理器、内存、各种外设集成在一块芯片内的计算机。现在的个人计算机的数据总线宽度已经达到64位，而微控制器一般还停留在8/16/32位。可见，微控制器的功能相对有限，但对于一些简单的控制系统来说已经足够。由于微控制器价格低廉、简单易用，它也常常被用在一些业余硬件项目中。
这个系列将要讨论的是8位微控制器，属于微控制器中的底层。常见的8位微控制器有：
继续阅读 →《高等算术》第六章主要研究二元二次型 ax²+bxy+cy² 的理论。这一章主要研究了等价二次型、正定二次型的约化等价形式，以及二次型的表示问题（这是二平方和问题的推广）。
继续阅读 →《高等算术》第五章研究将自然数表示为平方和的方法，讨论了三种情况：
对于二平方和问题，书中给出了若干构造方法。
继续阅读 →《高等算术》第四章讲了连分式。有理数（无理数）总可以表示为有限（无限）长的连分式。满足一定限制条件的情况下，这种表示是唯一的。截取连分式的前若干个数，得到的分数称为渐进 (convergent)，渐进总是交替地大于和小于目标数，并最终收敛到目标数。
一个有趣的现象是：二次代数数1的连分式总是循环的。这个性质进一步可以用于求解 Pell 方程 \[x^2-Ny^2=1\] 它的解是 \(\sqrt N\) 的（循环）连分式的某些渐进的分子和分母。
一点题外话：连分式在初等数论之外也有应用。例如可以证明 π 和 e 的连分式是无限长的，因此它们是无理数。
继续阅读 →继续阅读 Davenport 的《高等算术》的第三章。这一章讲了原根、二次剩余和二次互反律。这些内容在 Pinter 的《抽象代数》第二十三章也略有涉及。本章提到了欧拉准则、高斯引理，并给出了二次互反律的证明。
继续阅读 →这是《抽象代数》的最终章。至此，终于能够解答第一章提出的问题：五次方程是否存在求根公式？ 使用 Galois 理论可以一般地回答代数方程的根式可解性问题。
设多项式 p(x) ∈ F[x]，那么代数方程 p(x) = 0 根式可解意味着 x 可以由 F 中的元素经过有限次加、减、乘、除和开方运算表示。这等于说方程的根在 F 经过有限次根式扩张 (radical extension) 得到的数域中，通过 Galois 对应可以得到相应的 Galois 群是可解群 (solvable group)。通过证明存在五次方程具有不可解的 Galois 群，就证明了它不存在根式解；于是，五次方程一般的求根公式也就不存在。
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